\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\newtheorem{ex}[equation]{Exercice}
\newenvironment{exercice}{\begin{ex}\em\mbox{~}\\}{\end{ex}}
\newcommand{\exo}[1]{\begin{exercice}{\bf #1}}
\newcommand{\fin}{\end{exercice}}
\newcommand{\mtc}{\mathcal}
\newcommand{\corrige}[1]{~\\{\bf  Corrig\'e}\\{\it #1}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
\newcommand{\E}{\mathbb{E}}
\newcommand{\e}{\varepsilon}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\def\indic{\mathbbm{1}}
\begin{document}
\begin{center}
\framebox{\bf \Large Feuille 1}
\end{center}

~\\

{\bf \large Exercice 1}~\\

\noindent Soit $X,\,Y$ deux variables aléatoires indépendantes de  loi uniforme sur $[0,\,1]$.
\begin{enumerate}
\item Donner leur  fonction de répartition commune $F$. 
\item Donner  les fonctions de r\'epartitions de $U = \min \{ X,
\, Y \}$ et de $V = \max \{ X, \, Y \}$.
\item Calculer la probabilité que $\max \{ X, \, Y \}$ dépasse $3/4$
sachant que $\min \{ X,
\, Y \}$ dépasse $1/3$.
\item Les variables $U$ et $V$ sont-elles indépendantes~?
\end{enumerate}

\vspace{2cm}
{\bf \large Exercice 2}~\\

\noindent Soit $\lambda$ un r\'eel fix\'e. Soit $f$ un endomorphisme  de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^2$
dont la seule valeur propre est $\lambda$. Soit $e_1$ un vecteur propre associ\'e.
\begin{enumerate}
\item Montrer que quelque soit le choix de $e_2$ tel que  $(e_1,e_2)$ soit une
  base de $\mathbb{R}^2$,  $f$ est repr\'esent\'e dans cette base par une matrice de la
  forme $$B=\left(\begin{array}{ll} \lambda &c \\0 &\lambda
  \end{array}\right),$$
pour un certain r\'eel $c$.
\item Montrer que l'on peut choisir $e_2$ de telle sorte que $c=0$ ou $1$.
\item Pour ce choix, calculer  $B^n$ pour tout entier naturel $n$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\framebox{\bf \Large Feuille 2}
\end{center}

~\\

{\bf \large Exercice 1}~\\

\noindent On consid\`ere la fonction de la variable r\'eelle d\'efinie par
$$\Bigg\{{\begin{array}{lll}
\mbox{ si } x <-1 &&f(x)=-\sqrt{x^2+2x+2},\\
\mbox{ si } -1\leq x \leq 1&&f(x)=\sin\left(\frac{\pi}{2} x\right),\\
\mbox{ si } 1< x&&f(x)=\sqrt{x^2-2x+2}.
\end{array}}$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est continue et d\'erivable sur $\mathbb{R}$.
\item Donner le tableau de variation de $f$ et donner ses asymptotes
en $+\infty$ et $-\infty$.
\item Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ d\'efinie par :
$$\Big\{{u_0>0\atop u_{n+1}=f(u_n) \mbox{ pour } n \geq 0}.$$
Montrer que $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge et donner sa limite.
\end{enumerate}

\vspace{2cm}
{\bf \large Exercice 2}~\\

\noindent  On coupe une baguette de bois d'un m\`etre de long  en deux endroits choisis au hasard.
On veut savoir la probabilité que l'on puisse construire un
triangle avec les trois bouts de bois que l'on obtient. 
\begin{enumerate}
\item  Expliquer brièvement 
pourquoi le problème considéré peut être modélisé de la sorte~:
on tire indépendamment deux variables aléatoires $X$ et $Y$ uniformes sur $[0,\,1]$,
et on regarde s'il existe un triangle de côtés $\min \{ X, \, Y \}$, 
$|X-Y|$, et $1-\max \{ X, \, Y \}$.
\item  On rappelle qu'une condition nécessaire
et suffisante pour qu'un triangle de côtés $u,\,v,\,w$ existe est que 
$u+v>w$, $\ v+w>u$ et $w+u>v$. Montrer que cela équivaut au fait 
que le plus grand côté soit de longueur inférieure à la somme des
deux autres. En particulier, prouver que dans le cas où $u+v+w=1$,
cela est également équivalent à ce que le plus grand des trois est 
plus petit que $1/2$.
\item  Calculer finalement la probabilité désirée dans le problème de départ.
{\it Indication : Il est conseillé de faire un dessin.}
\end{enumerate}
\newpage

\begin{center}
\framebox{\bf \Large Feuille 3}
\end{center}

~\\

{\bf \large Exercice 1}~\\

\noindent Soit $Z$ une variable aléatoire de loi uniforme sur $[0,\,2\pi]$. On note
$X = \cos(Z)$ et $Y = \sin(Z)$.
\begin{enumerate}
\item Calculer l'espérance de $X$ et celle de $Y$. 
\item En utilisant les propriétés de l'exponentielle complexe $x \mapsto e^{ix}$
et sa définition en fonction de $\cos(x)$ et $\sin(x)$,
rappeler pourquoi pour tout r\'eel $x$, $\cos(x) \, \sin(x) = \sin(2x)/2$. 
\item Montrer que la covariance de $X$ et $Y$  est nulle.
\item Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes~? 
\end{enumerate}

\vspace{2cm}
{\bf \large Exercice 2}~\\

\noindent Soit $m$ un r\'eel quelconque. Soit la fonction $f$ de $\mathbb{R}^3$  dans
$\mathbb{R}^3$  telle que pour tout $u=(x,y,z)$ de $\mathbb{R}^3$,
$f(u)=(X,Y,Z)$ tels que
$$\Bigg\{{\begin{array}{lll}
X&=&(m-2) x +2y-z\\
Y&=&2x+my+2z\\
Z&=&2mx+2(m+1)y+(m+1)z
\end{array}
}$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est un endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ de rang 3 sauf pour $m=0,1$
  ou $2$.
\item Pour chacune de ces 3 valeurs, donner alors le rang de $f$ et
  caracteriser alors $Im~f$ par une relation lin\'eaire liant $X,Y,Z.$
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\framebox{\bf \Large Feuille 4}
\end{center}

~\\

{\bf \large Exercice 1}~\\

\noindent Soit $A$ et $B$ deux variables aléatoires indépendantes et de même loi uniforme
sur $[-1,\,1]$. Quelle est la probabilité que les racines de l'équation (en $x$)
$$x^2 + 2Ax + B$$ soient réelles~? \\


\vspace{2cm}
{\bf \large Exercice 2}~\\

\noindent Soit $\mathbb{R}_n[X]$ l'ensemble des polyn\^omes de degr\'e au plus $n$ \`a
coefficients r\'eels. Soient $x_0,...,x_{n}$ $n+1$ r\'eels deux \`a deux
distincts. On pose pour tout entier $k$ de $\{0,...,n\}$
$$P_k(X)=\frac{\prod_{i\not= k} (X-x_i)}{\prod_{i\not= k} (x_k-x_i)}$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que les $P_k$ appartiennent \`a $\mathbb{R}_n[X]$. Montrer que
  $P_k(x_i)=0$ si $i\not = k$ et que $P_k(x_k)=1$. 
\item Soient $y_0,...,y_n$ $n+1$ r\'eels. Montrer qu'il existe un unique
  polyn\^ome $P$ de $\mathbb{R}_n[X]$  tel que pour tout $k$ de $\{0,...,n\}$,
  $P(x_k)=y_k$.
\item Pour tout $j$ de $\{0,...,n\}$, on d\'efinit 
$$\begin{array}{ccccc}
T_j &:& \mathbb{R}_n[X]&\to &\mathbb{R}\\
&& P &\mapsto& P(x_j)
\end{array}$$
Montrer que $T_j$ est une application lin\'eaire. Calculer $T_j(P_k)$ pour
tout $j$ et tout $k$  de $\{0,...,n\}$.  En d\'eduire que les $T_j$ sont libres
puis que   $\{T_0,...,T_n\}$     forment une base de l'ensemble des
applications lin\'eaires de $\mathbb{R}_n[X]$ dans $\mathbb{R}$.
\item  Soit $T$ la fonction qui associe \`a un polyn\^ome sa d\'eriv\'ee en
  $x_0$ i.e.
$$\begin{array}{ccccc}
T &:& \mathbb{R}_n[X]&\to &\mathbb{R}\\
&& P &\mapsto& P'(x_0)
\end{array}$$
Montrer que $T$  est une application lin\'eaire et calculer ses coefficients
sur la base  $\{T_0,...,T_n\}$ 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\framebox{\bf \Large Feuille 5}
\end{center}

~\\

{\bf \large Exercice 1}~\\

\noindent A l'entra\^inement, un basketteur met le ballon dans le panier avec une
probabilit\'e $p$.
\begin{enumerate}
\item Soit $N$ le nombre minimal de lancers que le basketteur doit
faire pour voir passer
   le ballon  dans le panier. Par exemple, si le ballon est dans le
  panier au premier coup, $N=1$. Donner la loi de $N$. Donner son esp\'erance et
  sa variance.
\item Soit $n$ un entier naturel. Maintenant le basketteur compte le
nombre minimal de lancers n\'ecessaires, $X$,
  pour mettre  $n$ paniers. Donner pour tout entier $k>0$, $\P(X=k)$.
\item Expliquer pourquoi $X$ peut \^etre vu comme une somme de $n$ variables
  ind\'ependantes et identiquement distribu\'ees dont on donnera la loi.
\item En d\'eduire l'esp\'erance et la variance de $X$. 
\end{enumerate}
{\it On rappelle que $\sum_{k=1}^\infty k^2 p(1-p)^{k-1}=\frac{2-p}{p^2}.$}


\vspace{2cm}
{\bf \large Exercice 2}~\\

\noindent Soit $f : [0,\,1] \to [0,\,1]$ une fonction continue et strictement monotone
telle que pour tout $x \in [0,\,1]$, 
$$2x - f(x) \in [0,\,1]~.$$
\begin{enumerate}
\item  Que valent $f(0)$ et $f(1)$~? En déduire le sens de variation de $f$. 
\item  On suppose dor\'enavant que $f$ vérifie, pour tout $x \in [0,\,1]$, 
$$f \left( 2x - f(x) \right) = x~.$$
Montrer que si $f$ est la fonction identité ($x\mapsto f(x)=x$), alors elle vérifie toutes les conditions
de l'énoncé. 
\item  Réciproquement, on veut montrer que $f$ est nécessairement l'identité.
\begin{enumerate}
\item Indiquer pourquoi $f$ est bijective sur $[0;1]$. On note
$f^{-1}$ la fonction r\'eciproque.
\item Soit $x_0 \in [0,\,1]$, on définit la suite des itérées~:
$\forall n \in \mathbb{N}, x_{n+1}=f(x_n).$ Montrer que pour tout $n \geq 1$,
$$x_n = \frac{x_{n+1} + x_{n-1}}{2}~.$$
\item En déduire que pour $n \geq 1$, $x_n  = x_0 + n(x_1 - x_0)$.
\item En d\'eduire  que $f$ est la fonction identité.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\framebox{\bf \Large Feuille 6}
\end{center}

~\\

{\bf \large Exercice 1}~\\

\noindent On dispose d'un alcotest fiable \`a $98\%$, c'est-\`a-dire que $98\%$
des personnes ayant bu de l'alcool ont un test positif et que $98\%$
des personnes n'ayant pas bu d'alcool ont un test n\'egatif.
On sait qu'\`a un moment donn\'e, $2\%$ des automobilistes ont bu de
l'alcool.
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilit\'e qu'un alcotest effectu\'e sur un
automobiliste pris au hasard soit positif
\item Donner la probabilit\'e que l'automobiliste ait bu de l'alcool sachant que le
test est positif.
\item Donner la probabilit\'e que l'automobiliste n'ait rien bu
sachant que le test est n\'egatif.
\end{enumerate}

\vspace{2cm}
{\bf \large Exercice 2}~\\

\noindent Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de réels tous strictement plus grands que $-1$. 
Lorsque la suite $(p_n)$ des produits
$p_n = (1+u_1)\,\cdots\,(1+u_n)$ converge,
on note 
$$p = \prod_{n = 1}^\infty (1+u_n)$$
sa limite. On dit alors que le produit infini
$\prod (1+u_n)$ converge (vers $p$). 
\begin{enumerate}
\item  Déterminer $p$ lorsque $u_n = -1 + 1/(n+1)$. 
\item On suppose {\em dans cette question seulement} que tous les $u_n$ sont positifs. 
Encadrer $p_n$ en fonction de $S_n$, où $S_n = u_1 + \ldots + u_n$, et 
en déduire que le produit $\prod (1+u_n)$ converge si et seulement si $\sum u_n$ est une série
convergente. 
\item  Montrer (dans le cas général) qu'une condition nécessaire de convergence de 
$\prod (1+u_n)$ vers $p>0$ est que $u_n \to 0$. 
\item Soit $p>0$. Montrer que $\prod (1+u_n)$ converge vers $p$ si et seulement si $\sum \log(1+u_n)$
converge. Quand tous les $u_n$ sont positifs, montrer que $\sum
\log(1+u_n)$ et $\sum u_n$ sont de m\^eme nature.
\item  En général cependant, montrer que $\sum \log(1+u_n)$ et $\sum
u_n$ sont de natures différentes en 
traitant par exemple le cas $u_n = (-1)^n/\sqrt{n}$. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\framebox{\bf \Large Feuille 7}
\end{center}

~\\

{\bf \large Exercice 1}~\\

\noindent Soit $f$ une fonction continue $[0,\,1] \to \R$. 
\begin{enumerate}
\item On suppose dans cette question seulement que $f(\R) \subset [0,\,1]$. Montrer qu'alors
$f$ admet un point fixe
dans $[0,\,1]$, c'est-à-dire qu'il existe $x_0 \in [0,\,1]$ tel que
$f(x_0) - x_0 =0$. 
\item On suppose ici que 
$$2 \int_0^1 f(t)\,\text{d}t = 1$$
Montrer qu'alors $f$ admet un point fixe  en considérant la
d\'eriv\'ee de
$$g : x \mapsto \int_0^x f(t)\,\text{d}t - \frac{x^2}{2}~.$$
\end{enumerate}

\vspace{2cm}
{\bf \large Exercice 2}~\\

\noindent Pour tout entier naturel $n$, on d\'efinit $E_n$ comme le
$\mathbb{C}$-espace vectoriel engendr\'e par les fonctions
$\phi_0,\phi_1,...,\phi_n,\psi_1,...,\psi_n$ o\`u  pour tout $t$ dans
$\mathbb{R}$ et tout $k$ de $\{0,...,n\}$
$$\phi_k(t)=\cos(kt)\mbox{ et } \psi_k(t)=\sin(kt).$$

\begin{enumerate}
\item Montrer que $E_n$ est aussi le $\mathbb{C}$-espace vectoriel
engendr\'e par les fonctions $\theta_{-n},...,\theta_0,...,\theta_n$ o\`u  pour tout $t$ dans
$\mathbb{R}$ et tout $k$ de $\{-n,...,n\}$
$\theta_k(t)=e^{ikt}.$
\item Montrer que si $f\in E_n$ alors $f'' + n^2 f$ appartient \`a
$E_{n-1}.$
\item Montrer par r\'ecurrence sur $n$ que les
$\phi_0,\phi_1,...,\phi_n,\psi_1,...,\psi_n$ sont libres et donner la
dimension de $E_n$.
\item Soit $X$ une variable al\'eatoire \`a valeurs dans
$\{0,...,n\}$. On d\'efinit la fonction caract\'eristique de $X$ par
la fonction qui \`a tout r\'eel $t$ associe
$$\Phi_X(t)=\mathbb{E}(e^{itX})=\mathbb{E}(\cos(tX))+i\mathbb{E}(\sin(tX)).$$
($\E$ repr\'esente l'esp\'erance par rapport \`a la variable $X$.) \\ Montrer que $\int_0^{2\pi} \Phi_X(t)e^{-itk} dt = 2\pi \mathbb{P}(X=k)$
pour tout entier $k$ de $\{0,...,n\}$. En d\'eduire que $ \Phi_X$
caract\'erise la loi de $X$.

{\it Remarque : Si $f : \R \to \mathbb{C}$ alors $\int f(t) dt = [\int Re(f(t)) dt]
+ i [\int Im(f(t))dt].$}
\item Si $X$ est une variable Binomiale $B(n,p)$, calculer $\Phi_X$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\framebox{\bf \Large Feuille 8}
\end{center}

~\\

{\bf \large Exercice 1}~\\

\noindent Soit $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de nombres tous strictement positifs. 
On note pour tout entier $n$, $V_n = v_1 + \ldots + v_n$.
On veut montrer que les séries $\sum v_k$ et $\sum v_{k+1}/\sqrt{V_k}$
sont de même nature (convergente ou divergente).
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour $k \geq 1$, $v_{k+1} = (\sqrt{V_{k+1}} - \sqrt{V_k})\,(\sqrt{V_{k+1}} + \sqrt{V_k})$. 
\item  En déduire l'équivalence annoncée. 
\end{enumerate}

\vspace{2cm}
{\bf \large Exercice 2}~\\

\noindent On observe $X_1,...,X_n$ , $n$ variables al\'eatoires ind\'ependantes
et  uniformes sur
$[0,\theta]$. Le param\`etre $ \theta$ est un r\'eel strictement positif,
inconnu que l'on cherche \`a estimer.
\begin{enumerate}
\item Donner la moyenne et la variance de $X_1$.
\item Montrer que $\hat{\theta}=2\frac{X_1+...+X_n}{n}$ est un estimateur sans biais
  de $\theta$, c'est-\`a-dire $\mathbb{E}(\hat{\theta})=\theta$.
\item Montrer que pour tout $t>0$, $\P(\sqrt{n}|\hat{\theta}-\theta|\leq t)$ a
  une limite non nulle quand $n$ tend vers $+\infty$.($\P$
repr\'esente la probabilit\'e sous la loi de $(X_1,...,X_n)$.)
\item Calculer la fonction de r\'epartition de
  $\tilde{\theta}=\max_{i=1,...,n} X_i.$
\item En d\'eduire que  pour
  tout $0\le\e\le \theta$ $$
  \mathbb{P}(|\tilde{\theta}-\theta|>\e)=\left(\frac{\theta-\e}{\theta}\right)^n.$$
\item On rappelle que si $X$ est une variable positive $\E(X)=\int_0^{+\infty}
  \P(X\geq t) dt.$ Calculer $\E(\tilde{\theta})$ et en d\'eduire un autre
  estimateur sans biais de $\theta$.
\item Montrer que pour tout $t>0$, $\P(n|\tilde{\theta}-\theta|\leq t)$ a une
  limite non nulle quand $n$ tend vers $+\infty$. 
{\it Remarque culturelle : en ce sens, $\tilde{\theta}$ converge plus vite que
  $ \hat{\theta}$ vers $\theta$.}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\framebox{\bf \Large Feuille 9}
\end{center}

~\\

{\bf \large Exercice 1}~\\

\noindent Soit $E$ un $\R$ espace vectoriel de dimension finie $n$. Soient $f$
et $g$ deux endomorphismes de $\mathcal{L}(E)$ tels que $g\circ f =0$
et $f+g$ est inversible. Montrer que $\mbox{rg }(f) + \mbox{rg }(g)
=n$.


\vspace{2cm}
{\bf \large Exercice 2}~\\

\noindent L'objet de cet exercice est d'étudier, pour $x \in \R$, la fonction 
$$F : x \mapsto \int_0^1 t^{t^x} \,\text{d}t~.$$
\begin{enumerate}
\item Que vaut $F(0)$~? 
\item Rappeler, pour $t > 0$ et $a \in \R$, l'écriture de $t^a$ à l'aide
des fonctions $\exp$ et $\ln$.
\item On considère, pour $x$ fixé, 
la fonction $\varphi_x : t \in ]0,\,1] \mapsto t^{t^x}$. 
Etudier $\varphi_x$~: montrer qu'elle est définie et continue, dresser son tableau
de variations, la prolonger par continuité en 0.
\item Montrer que $F$ est définie et croissante sur $\R$. 
\item Calculer la limite de $F$ en $+\infty$ apr\`es avoir encadr\'e
$F$. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\framebox{\bf \Large Feuille 10}
\end{center}

~\\

{\bf \large Exercice 1}~\\

\noindent On suppose que $N$, le nombre d'oeufs pondus par une tortue, suit une loi de
Poisson de param\`etre $\lambda$.
\begin{enumerate}
\item Donner l'esp\'erance et la variance de $N$.
\item Chaque oeuf de la ponte a une probabilit\'e $p$ d'\'eclore et cela
  ind\'ependamment de ce qui se passe pour les autres oeufs. Quelle est la loi
  du nombre d'oeufs \'eclos, $N_e$,  par ponte ?
\item Il y a une proportion $f$ de femelles et $m$ de m\^ales parmi les oeufs
  pondus ($f+m=1$). Le sexe  de l'oeuf est compl\'etement ind\'ependant du
  fait que  l'oeuf \'eclose.  Quelle est la loi de $N_f$, le nombre de femelles
  \'ecloses et celle de $N_m$, le nombre de m\^ales \'eclos ?
\item Montrer que $N_f$, le nombre de femelles \'ecloses, et $N_{ne}=N-N_e$,
  le nombre d'oeufs non \'eclos, sont des variables ind\'ependantes.
\end{enumerate}

\vspace{2cm}
{\bf \large Exercice 2}~\\

\noindent Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension $n \geq 1$. Un endomorphisme $u$ 
sur $E$ est dit nilpotent s'il existe un entier $p$ tel que $u^p = u \circ \cdots \circ u = 0$. 
Soit un tel endomorphisme $u$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que le rang de $u$ est strictement inférieur à $n$.
\item On dit qu'un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ est stable par $u$ si $u(F) \subset F$.
Montrer que $u$ restreint à un tel sous-espace $F$ forme un endomorphisme de $F$, noté $u_{|F}$,
et que le rang de $u_{|F}$ est strictement inférieur à la dimension  de $F$ dès que $F$ n'est pas 
le sous-espace trivial $\{ 0 \}$.
\item Soient maintenant  $u_1,\,u_2,\,\ldots,\,u_n$ $n$
endormorphismes nilpotents de $E$, commutant deux à deux,
c'est-\`a-dire, tels que pour tous $i$ et $j$, $\ \ u_i \circ u_{j} =  u_{j} \circ u_i$. 
Montrer que $u_1 \circ u_2 \circ \cdots \circ u_n = 0$ en \'etudiant
par r\'ecurrence le rang de $u_1 \circ u_2 \circ \cdots \circ u_k$. \\
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\framebox{\bf \Large Feuille 11}
\end{center}

~\\

{\bf \large Exercice 1}~\\

\noindent Soit $A$ et $B$ deux matrices de $\mathbb{M}_n(\R)$. On cherche à montrer que 
$$\begin{pmatrix} A & -B \\ B & A \end{pmatrix}$$
est inversible (dans $\mathbb{M}_{2n}(\mathbb{C})$) 
si et seulement si $A+iB$ est inversible dans $\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C})$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que  
$$\begin{pmatrix} I & iI \\ iI & I \end{pmatrix}$$
est inversible dans $\mathbb{M}_{2n}(\mathbb{C})$. \\
\item  Ecrire 
$$\begin{pmatrix} A & -B \\ B & A \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I & iI \\ iI & I \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} I & iI \\ iI & I \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_1 & 0 \\ 0 & C_2 \end{pmatrix}$$
où $C_1,\,C_2$ sont des matrices à déterminer, et conclure. 
\end{enumerate}


\vspace{2cm}
{\bf \large Exercice 2}~\\

\noindent Pour tout  entier naturel $n\ge 1$ on pose,
$$u_n=\int_{(n-1)\pi}^{n\pi} \frac{t \sin(t)}{1+t^2}dt.$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $u_n=(-1)^{n-1}|u_n|.$
\item Montrer que pour $n\ge 2$
$$\frac{2n\pi}{1+n^2\pi^2}\leq |u_n|\leq \frac{2(n-1)\pi}{1+(n-1)^2\pi^2}.$$
{\it Indication : on pourra commencer par montrer que $g: t\mapsto t/(1+t^2)$
  est d\'ecroissante sur un intervalle que l'on pr\'ecisera.}
\item Montrer que $\sum u_n$ converge mais qu'elle ne converge  pas absolument.
\item Montrer que $\displaystyle\int_0^{+\infty}  \frac{t \sin(t)}{1+t^2}dt$ converge.
\end{enumerate}
 \newpage

\begin{center}
\framebox{\bf \Large Feuille 12}
\end{center}

~\\

{\bf \large Exercice 1}~\\

\noindent Soient $f$ et $g$ deux fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$
\begin{enumerate}
\item Montrer que si $f$ et $g$ tendent vers $+\infty$ ou vers $0+$ quand
  $x\to +\infty$ et qu'elles sont \'equivalentes en $+\infty$ alors $\ln(f)$
  et $\ln(g)$ sont elles aussi \'equivalentes en $+\infty$.
\item En d\'eduire la limite de $\frac 1x \ln \left(\frac{e^x-1}{x}\right)$
  quand $x\to +\infty$. 
\end{enumerate}

\vspace{2cm}
{\bf \large Exercice 2}~\\

\noindent Sur l'\^ile du Crozet, il passe au plus un bateau par mois. Tous les mois ont
la m\^eme probabilit\'e,  $p$, qu'il passe un bateau et on suppose que la
venue de chaque bateau est ind\'ependante de ce qui s'est pass\'e les autres
mois. Arriv\'e par bateau sur l'\^ile au mois 0, soit $M$  le nombre de mois
qu'il faudra attendre avant l'arriv\'ee du prochain bateau.
\begin{enumerate}
\item Donner la loi de $M$.
\item Chaque bateau a une probabilit\'e $\lambda$ de contenir des cigarettes
  et cela ind\'ependamment de tout le reste (arriv\'ee du bateau, mois
  pr\'ec\'edents). Soit $M_c$ le nombre de mois qu'il faudra attendre avant le
  ravitaillement en cigarettes. Quelle est la loi de $M_c$ ?
\item Donner la loi de $N_c$ le nombre de cargaisons de cigarettes
re\c cues
  entre le mois $1$ et le mois $m$.
\item Il se peut aussi qu'il  y ait de l'alcool dans la cargaison avec
  probabilit\'e $\mu$ et cela de
  mani\`ere totalement ind\'ependante du reste (entre autres la pr\'esence ou
  non de cigarettes). Soit $M_a$ le nombre de mois qu'il faudra attendre avant le
  ravitaillement en alcool. Quelle est la probabilit\'e pour que $M_c=M_a$?
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\framebox{\bf \Large Feuille 13}
\end{center}

~\\

{\bf \large Exercice 1}~\\

\noindent Pour tout couple d'entiers naturels $(p,q)$, on pose
$$B(p,q)=\int_0^1 t^p(1-t)^q dt.$$
\begin{enumerate}
\item Calculer pour tout entier naturel $p$, $B(p,0)$.
\item Montrer que  $B(p,q)=B(q,p).$
\item Exprimer $B(p,q)$ en fonction de $B(p+1,q-1)$.
\item Calculer $B(p,q)$ en fonction de $p$ et $q$.
\end{enumerate}


\vspace{2cm}
{\bf \large Exercice 2}~\\

\noindent Soit $t$ un r\'eel fix\'e. On consid\`ere les quatre vecteurs suivants
de $\mathbb{R}^3$.
$$\begin{array}{ccccccc}
V_1(t)&=&(&1-t^2~,& 1+t~,& 1+t^3~&),\\
V_2(t)&=&(&1-t~~,& 2~,& 1-t~&),\\
V_3(t)&=&(&1-t^3~,&t~,&1~&),\\
V_4(t)&=&(&1-t~~,&1~,&1+t~&).\\
\end{array}$$
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer la dimension de $F$, l'espace engendr\'e par
$\{V_1(t),V_2(t),V_3(t)\}$ selon les valeurs de $t$.
\item Discuter selon $t$ si $V_4(t)$ appartient \`a
$F$ ou non.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\framebox{\bf \Large Feuille 14}
\end{center}

~\\

{\bf \large Exercice 1}~\\
\begin{enumerate}
\item Soit $\lambda$ un r\'eel fix\'e. Montrer que $\displaystyle
  \int_{-\infty}^{+\infty}
  e^{-\frac{(\lambda-t)^2}{2}}\frac{dt}{\sqrt{2\pi}}=1.$
\item En d\'eduire que si $X$ est une variable al\'eatoire r\'eelle
  $\mathcal{N}(0,1)$ (loi  normale (Gaussienne) centr\'ee r\'eduite), alors
  $\E(e^{\lambda X})=e^{\lambda^2/2}.$
\item Soient $X$ et $Y$ deux variables al\'eatoires r\'eelles
  $\mathcal{N}(0,1)$ ind\'ependantes. On pose $U=\frac{X+Y}{\sqrt{2}}$ et
  $V=\frac{Y-X}{\sqrt{2}}.$ Montrer $\E(e^{\lambda U}) = \E(e^{\lambda V})
  =e^{\lambda^2/2}.$
\item Soit $\mu$ un autre r\'eel. Montrer que $\E(e^{\lambda U+\mu V})=\E(e^{\lambda U})  \E(e^{\mu V}).$
\end{enumerate}
{\it Remarque ``culturelle'' : la fonction $\lambda \mapsto \E(e^{\lambda X})$
  caract\'erise la loi de $X$ et la fonction $(\lambda, \mu)\mapsto
  \E(e^{\lambda U +\mu V})$ caract\'erise la loi du couple $(U,V)$. On vient
  donc de montrer que $U$ et $V$ sont deux variables normales centr\'ees
  r\'eduites ind\'ependantes.}


\vspace{2cm}
{\bf \large Exercice 2}~\\

\noindent Soient $A,\,B$ deux éléments de $\mathbb{M}_n(\R)$.
(On désigne par $I$ désigne la matrice identité.)
\begin{enumerate}
\item Montrer que si $AB-BA=\alpha I$ pour un certain réel $\alpha$, alors
$A$ et $B$ commutent, i.e., $AB=BA$. {\it Indication : Penser à considérer la trace.}
\item Soit $W$ dans $\mathbb{M}_n(\R)$ de rang 1. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que si $W$
est diagonalisable, alors la trace de $W$ est non nulle.
\item Montrer que si la trace de $W$ est non nulle alors $W$ est
diagonalisable. {\it Indication : on pourra commencer par montrer que
$W$ est semblable \`a une matrice dont seule la premi\`ere ligne est non
nulle.}
\item Montrer que si la trace de $W$ est nulle alors $W^2=0$.
\end{enumerate}
\item On suppose que $V = AB-BA$ est de rang 1. Montrer que pour tout entier 
$k$, $V A^k V = 0$. On commencera par montrer que $(V A^k)^2 = 0$. \\
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\framebox{\bf \Large Feuille 15}
\end{center}

~\\

{\bf \large Exercice 1}~\\

\noindent On consid\`ere la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ d\'efinie par :
$$\Big\{{u_0\in [-1;1]\atop u_{n+1}=u_n^2-1 \mbox{ pour } n \geq 0}.$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $n\geq 1$, $u_n\in[-1;0]$.
\item On pose pour tout entier $n$, $v_n=u_{2n}$ et
$w_n=u_{2n+1}$. Montrer que $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$  et
$(w_n)_{n\in\mathbb{N}}$ convergent.
\item Montrer que $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ diverge sauf pour deux
valeurs particuli\`eres de $u_0$ que l'on pr\'ecisera.
\end{enumerate}

\vspace{2cm}
{\bf \large Exercice 2}~\\

\noindent On dit qu'une matrice $N \in \mathbb{M}_n(\R)$ est nilpotente s'il existe un entier $p$ tel que 
$N^p = [0]$ (matrice nulle). On note $I_r$ la matrice identité de $\mathbb{M}_r(\R)$, pour $1 \leq r \leq n$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que 
$\displaystyle \begin{pmatrix}
0      & 1      & 0       & \cdots &0 \\
\vdots & \ddots & \ddots  &\ddots & \vdots\\
\vdots      &        &  \ddots        &  \ddots & 0\\ 
\vdots      &  &  & \ddots & 1\\
0 &\cdots   &\cdots  &\cdots& 0
\end{pmatrix}$
est nilpotente. 
\item On fixe désormais 
$N \in \mathbb{M}_n(\R)$ une matrice nilpotente et $p$ un entier tel que $N^p = [0]$.
\begin{enumerate}
\item Rappeler la formule donnant la valeur des sommes
partielles $1+x+\ldots+x^n$ d'une série géométrique (pour $x \in \R$ et $n \geq 1$ entier). 
\item S'en inspirer pour écrire, pour tout entier $q$, $\ \ I_n - N^q$ comme 
$(I_n-N)\,M_q$, où $M_q$ est une matrice à expliciter en fonction
de $N$ et $q$.
\item En déduire que $I_n-N$ est inversible, et préciser son inverse. 
\item Montrer que la matrice
$$\left[
\begin{array}{cccc}
1 & -a & 0 & \ddots \\
0 & 1 & \ddots & 0 \\
\vdots & & \ddots & -a \\
0 & \cdots & 0 & 1\\
\end{array}
\right]$$
est inversible et calculer son inverse. \\
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\framebox{\bf \Large Feuille 16}
\end{center}

~\\

{\bf \large Exercice 1}~\\

\noindent Soit $X$ une variable exponentielle de param\`etre
$\lambda$. Soit $N$ le plus petit entier tel que $N\geq
X$. Donner la loi de $N$.


\vspace{2cm}
{\bf \large Exercice 2}~\\

\noindent Soit $E$ un espace vectoriel (sur $\R$) de dimension 2, $f$ un endomorphisme de $E$
et $(a_0,\,a_1,\,\ldots$, $a_{n-1})$ $n$ ($n \geq 2$) vecteurs de $E$ deux à deux distincts,
engendrant $E$. On suppose que pour tout $i \in \{ 0,\,\ldots,\,n-2 \}$, $f(a_i) = a_{i+1}$
et $f(a_{n-1}) = a_0$. 
\begin{enumerate}
\item Rappeler ce que signifie que $(a_0,\,a_1,\,\ldots,\,a_{n-1})$ engendre $E$.
\item Calculer $f^m(a_j) = f \circ \cdots \circ f(a_j)$, pour $m$ entier, $m \leq n$, et $j \in \{ 0,\,\ldots,\,n-1 \}$.
En déduire que $f^n$ est l'identité, mais qu'aucun des $f^m$, $1 \leq m < n$, ne l'est.
\item Déterminer le rang et le noyau de $f$. 
\item Montrer que les valeurs propres de $f$ sont  $1$ et/ou $-1$.
\item Montrer qu'aucun des $a_j$ n'est vecteur propre de $f$. (Raisonner par l'absurde
en supposant que l'un des $a_j$ l'est et aboutir à une contradiction.)
\item En conclure que tous les $(a_j,\,a_{j+1})$ forment des bases de $E$,
et montrer que l'écriture de $f$ dans une telle base est de la forme
$$\left[ \begin{array}{cc} 0 & \alpha_j \\ 1 & \beta_j \end{array} \right]$$
(on ne cherchera pas à déterminer les valeurs précises des $\alpha_j$ et $\beta_j$).
\item Montrer que les $\beta_j$ sont tous égaux. \\
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\framebox{\bf \Large Feuille 17 }
\end{center}

~\\

{\bf \large Exercice 1}~\\

\noindent Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie
$n$. Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes de $E$ tels que
$Ker(v)\subset Ker(u).$ On pose $dim(Ker(v))=k$ et $dim(Ker(u))=h$.
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'il existe une base $(e_1,...,e_n)$ de $E$ tels que
les $k$ premiers vecteurs soient une base de $Ker(v)$ et les $h$
premiers vecteurs une base de $Ker(u)$.
\item Prouver que les $v(e_i)$ pour $i>k$ forment une base de $Im(v)$.
\item Montrer qu'il existe un endomorphisme $w$ tel que $u=w\circ v.$
\end{enumerate}

\vspace{2cm}
{\bf \large Exercice 2}~\\

\noindent Une urne contient des boules numérotées de 1 à $N$ (où $N$ est un entier plus grand que 2).
Elles sont indistinguables au toucher et l'on
effectue $n$ tirages avec remise~; on note par $Z_j$ le numéro tiré à la $j$-ème étape. 
On suppose $N$ inconnu à l'expérimentateur et on cherche à l'estimer.
\begin{enumerate}
\item On considère la moyenne empirique $M_n = (Z_1 + \ldots + Z_n)/n$. 
Calculer l'espérance de $M_n$ et en déduire un estimateur sans biais de $N$. 
\item On considère maintenant $X_n = \max \{ Z_1,\,\ldots,\,Z_n\}$, et on cherche
à montrer qu'il est asymptotiquement sans biais, {\em id est}, que 
$$\lim_{n \to \infty} \E \left[ X_n \right] = N~.$$
A cet effet~:
\begin{enumerate}
\item Donner la fonction de répartition de $X_n$.
\item Montrer que pour toute variable aléatoire $Y$ à valeurs dans $\{1,\,\ldots,\,N\}$, on a 
$$ \sum_{k=1}^N \P \left[ Y \geq k \right]=\E [Y].$$
\item En déduire que $\E[X_n] \geq N - N/(n+1)$, et conclure. \\
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\framebox{\bf \Large Feuille 18 }
\end{center}

~\\

{\bf \large Exercice 1}~\\
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\int_0^1 \ln(x) dx $ existe et calculer sa valeur.
\item Montrer que $\lim_{n\to\infty} \frac1n\sum_{p=1}^n \ln(p/n)=-1$. {\it
    Indication: on pourra essayer d'encadrer la somme par une int\'egrale}
\item Montrer que $ \frac{\sqrt[n]{n!}}{n}$ converge quand
$n\to+\infty$ et donner sa limite.
\end{enumerate}

\vspace{2cm}
{\bf \large Exercice 2}~\\

\noindent Soit un entier $n\ge2$. Soient $a_1,\,\ldots,\,a_{n-1}$ et $b_1,\,\ldots,\,b_{n-1}$ des nombres réels. 
On cherche une condition nécessaire et suffisante pour que la matrice 
$$A = \left[
\begin{array}{cccc}
0 & \cdots & 0 & b_1 \\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & b_{n-1} \\
a_1& \cdots & a_{n-1} & 0 \\
\end{array}
\right]$$
soit diagonalisable dans $\mathbb{M}_n(\R)$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que si $a_1 = \ldots = a_{n-1} = 0$, alors
$A$ est diagonalisable si et seulement si $A$ est la matrice nulle. 
Faire de même pour le cas $b_1 = \ldots = b_{n-1} = 0$. 
\item On se restreint dans cette question seulement au cas où les $a_i$ sont non tous nuls,
et les $b_j$ également. En supposant $A$ diagonalisable, indiquer les valeurs propres
et la dimension des espaces propres associés. \\
{\it Indication : On commencera par exprimer la trace de $A^2$ en
fonction de $\gamma = \sum_{j \leq n-1} a_j \, b_j $.}
\item Réciproquement, montrer que $\gamma > 0$ entraîne que $A$ est diagonalisable et 
formuler proprement et exhaustivement la condition nécessaire et suffisante recherchée. \\
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\framebox{\bf \Large Feuille 19 }
\end{center}

~\\

{\bf \large Exercice 1}~\\

\noindent Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans l'ensemble $\N$
des entiers naturels~; pour $n \in \N$, on note $p_n = \P [X = n]$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $X$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda > 0$
si et seulement si pour tout $n \geq 0$, $\ \ p_{n+1}/p_n = \lambda/(n+1)$.
\item Quelle est la valeur la plus probable d'une variable
distribuée selon une loi de Poisson de paramètre $\lambda >0$~? \\
\end{enumerate}

\vspace{2cm}
{\bf \large Exercice 2}~\\

\noindent Soit la fonction $G$:
$$x\mapsto \int_{1/x}^x \frac{t}{(t^3-1)^{1/3}}dt.$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $G(2)$ existe.
\item Donner l'ensemble de d\'efinition de $G$.
\item Montrer que $G$ est continue sur son ensemble de
d\'efinition. \\{\it Indication : On pourra par exemple \'ecrire pour
$x>1$, $$G(x)=\int_{1/x}^{1/2}\frac{t}{(t^3-1)^{1/3}}dt+G(2)+ \int_{2}^{x}\frac{t}{(t^3-1)^{1/3}}dt.$$}
\item Montrer que $G$ est d\'erivable sauf peut-\^etre en un point de
son ensemble de d\'efinition et donner sa d\'eriv\'ee.
\item $G$ est-elle croissante ou d\'ecroissante ? Donner les limites
si elles existent en $-\infty,0^-,0^+,+\infty$.
\item Faire l'\'etude asymptotique de $G$. 
\end{enumerate}
\end{document}