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\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
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\newcommand{\Ker}{\mathop{\mathrm{Ker}}}
\newcommand{\E}{\mathbb{E}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
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\renewcommand{\d}{\,\mbox{d}}
\newcommand{\Var}{\mathop{\mathrm{Var}}}
\newcommand{\abs}[1][\cdot]{\ensuremath{\bigl| #1 \bigr|}}
\renewcommand{\Re}{\mathop{\mathrm{Re}}}
\newcommand{\comm}{\noindent 
{\sl Vous traiterez les exercices suivants et les présenterez \underline{tous 
deux}, dans l'ordre de votre choix. Le temps de préparation est d'une heure~; l'interrogation durera une demie-heure. \\
\vspace{1cm}}
}
\newcommand{\nnewpage}{\newpage \comm}


\fancyhead[CO,CE]{\normalfont\small Planche \thepage} 
\fancyhead[LO,RE]{} 
\fancyfoot[RO,LE]{} 
\fancyhead[RO,LE]{} 
\fancyfoot[CE,CO]{\normalfont\small Epreuves orales de mathématiques 2007, concours d'entrée à l'Ecole normale supérieure, voie B/L}

\begin{document}

\setstretch{1.1}
\thispagestyle{fancy}
\pagestyle{fancy}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\comm 

\noindent{\bf Exercice 1.} \\
Pour tout entier $n \geq 1$, on pose
\[
I_n = \int_0^1 \bigl( \ln (1+x) \bigr)^n \d x
\]
et on étudie ici la suite $(I_n)$. 
\begin{enumerate}
\item Justifier l'existence des intégrales définissant les $I_n$.
\item Montrer que $(I_n)$ est décroissante et qu'elle converge 
vers une limite à préciser. 
\item Trouver une relation de récurrence entre $I_{n+1}$ et $I_n$, pour tout $n \geq 1$.
\item Conclure que $I_n = o \bigl( (\ln 2)^n \bigr)$ et donner un équivalent de 
$I_n$. 
\end{enumerate}

\ \\

\noindent{\bf Exercice 2.} \\
Un marcheur se d\'{e}place le long d'une rue rectiligne. Il avance pas par pas
avec probabilit\'{e} $1/2$ d'avancer vers la droite ou vers la gauche.
\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer la probabilit\'{e} que le marcheur revienne exactement
\`{a} son point de d\'{e}part au bout de $n$ pas, o\`{u} $n\in\mathbb{N}^{\ast
}$.
\item Le marcheur a \`{a} pr\'{e}sent quatre directions possibles
\'{e}quiprobables (Est, Ouest, Nord et Sud).
R\'{e}pondre \`{a} nouveau \`{a} la question pr\'{e}c\'{e}dente.
\end{enumerate}
Remarque~: on n'obtiendra pas nécessairement d'expression simplifiée
des probabilités en question, c'est la méthode de résolution qui compte ici.  

\nnewpage 

\noindent{\bf Exercice 1.} \\
On considère la suite $(u_n)$ définie par la donnée de 
$u_0 \in \mathbb{C}$ et la relation de récurrence
\[
u_{n+1} = \frac{u_n + | u_n |}{2}~.
\]
\begin{enumerate}
\item Etudier $(u_n)$ lorsque $u_0 \in \R$. 
\item On suppose désormais que $u_0 \in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R}$. \\
Montrer que pour tout $n \geq 0$, 
il existe un unique couple  
\[
(r_n,\,\theta_n) \in
\mathbb{R}^*_+ \times \bigr( ]-\pi,0[ \, \cup \, ]0,\pi[ \bigr) \quad \mbox{tel que} \quad u_n = r_n \, e^{i \theta_n}~;
\]
on précisera une relation de récurrence entre $(r_{n+1},\theta_{n+1})$ et $(r_n,\theta_n)$
pour tout $n \geq 0$. \\
En déduire une expression explicite de $\theta_n$ en fonction de $\theta_0$ et $n$. 
\item En admettant que pour tout $\alpha \in \R$, $2 \sin \alpha \, \cos \alpha = \sin \, (2 \alpha)$, montrer 
que $(r_n \sin \theta_n)$ est une suite géométrique, de raison à préciser. \\
En déduire une expression explicite de $r_n \sin \theta_n$ en fonction de $n$, $\theta_0$ et $r_0$. 
\item On dit qu'une suite $(v_n)$ d'élements de $\mathbb{C}$ converge vers $v$ lorsque
les suites des parties imaginaires et réelles $(\Re(u_n))$ et $(\Im(u_n))$ convergent respectivement
vers $\Re(v)$ et $\Im(v)$. \\
Conclure ici que $(u_n)$ converge, vers une limite à préciser.
\end{enumerate}

\ \\

\noindent{\bf Exercice 2.} \\
On fixe un entier $n \geq 2$. Soit $f$ un endomorphisme de $\mathbb{R}^{n}$ dont la matrice $A\in
\mathcal{M}_{n}\left(  \mathbb{R}\right)  $ dans la base canonique de
$\mathbb{R}^{n}$ ne comporte que des $1$ sur la premi\`{e}re ligne et la
premi\`{e}re colonne et des $0$ partout ailleurs.
\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer une base du noyau et une base de l'image de $f$.
\item D\'{e}terminer les valeurs propres de $f$ et une base $\mathcal{B}$ de
vecteurs propres de $f$.
\end{enumerate}
Soit $g$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^{n}$ dont la matrice dans la base
canonique de $\mathbb{R}^{n}$ est
\[
P=\frac{1}{n-1}\left(  A^{2}-A\right)~.
\]
\begin{enumerate}
\item[(3)] Montrer que $\mathcal{B}$ est aussi une base de vecteurs propres de $g.$
\item[(4)] Donner les valeurs propres de $g$ et pr\'{e}ciser $P^{2}$ en fonction de
$P$.
\end{enumerate}

\nnewpage

\noindent{\bf Exercice 1.} \\
On considère une fonction $g : \R \to \R$ dérivable, avec une dérivée bornée~:
il existe $M \geq 0$ tel que pour tout $x \in \R$, $\ | g'(x) | \leq M$.
Pour $\varepsilon > 0$, on note $f_\varepsilon : \R \to \R$ la fonction définie
par $f_\varepsilon(x) = x + \varepsilon g(x)$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'il existe $\varepsilon_0 > 0$ tel que pour tout $\varepsilon \leq \varepsilon_0$, \
$f_\varepsilon$ est strictement croissante.
\item Prouver alors que pour $\varepsilon \leq \varepsilon_0$, \ $f_\varepsilon$ est une bijection de $\R$ sur $\R$. 
\end{enumerate}

\ \\

\noindent{\bf Exercice 2.} \\
Soit $X$ une variable al\'{e}atoire r\'{e}elle suivant la loi normale
centr\'{e}e et r\'{e}duite. On note $\varphi$ sa densit\'{e} et $\Phi$ sa
fonction de r\'{e}partition. Soit $c$ un r\'{e}el et $g$ la fonction
d\'{e}finie par
\[
g(x)  =c \, \varphi(x) \, \Phi(x)
\]
pour tout $x$ r\'{e}el.
\begin{enumerate}
\item Trouver une relation entre $\Phi(x)$ et $\Phi(-x)$.
\item D\'{e}terminer $c$ pour que $g$ soit une densit\'{e} de probabilit\'{e}
d'une variable al\'{e}atoire $Y.$
\item Calculer l'esp\'{e}rance et la variance de $Y$.
\end{enumerate}

\nnewpage 

\noindent{\bf Exercice 1.} \\
Pour $n \geq 2$ et des réels $a_1,\,\ldots,\,a_n$, 
on considère la matrice de $\mathcal{M}_n(\R)$
définie par 
\[
M = \left[ 
\begin{array}{ccccc} 
a_1 & a_2 & \cdots & \cdots & a_n \\
1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \ddots & & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & 1 & 0
\end{array}
\right]
\]
\begin{enumerate}
\item Discuter le rang de $M$ en fonction des $a_k$. 
\item Montrer que $\lambda \in \R$ est valeur propre de $M$
si et seulement si 
\[
P(\lambda) = \lambda^n - a_1 \lambda^{n-1} - a_2 \lambda^{n-2} - \ldots - a_n = 0~;
\]
exhiber également une base du sous-espace propre associé et préciser sa dimension. 
\item En déduire que 
\begin{itemize}
\item[--] la matrice $M$ est diagonalisable si et seulement si $P$ admet $n$ racines distinctes~;
\item[--] si $a_n \geq 0$, alors $M$ admet au moins une valeur propre positive. 
\end{itemize}
\end{enumerate}

\ \\

\noindent{\bf Exercice 2.} \\
Soit une variable al\'{e}atoire $X$ de densit\'{e} de probabilit\'{e}
\begin{numcases}{f(x) = }
\nonumber
k\,x & si $x \in [1,4]$, \\
\nonumber
0 & sinon.
\end{numcases}
\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer la constante $k$.
\item D\'{e}terminer la loi de la variable $Y=\left(  X-2\right)  ^{2}$.
\end{enumerate}

\nnewpage

\noindent{\bf Exercice 1.} \\
Pour $n \geq 2$, on considère deux matrices $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ 
et 
\[
\Lambda = \left[
\begin{array}{cc}
\lambda_1 & \lambda_2 \\
\lambda_3 & \lambda_4 \\
\end{array}
\right] \in \mathcal{M}_2(\R)
\]
toutes deux diagonalisables. On veut montrer que la matrice définie par blocs  
\[
B = \left[
\begin{array}{cc}
\lambda_1 A & \lambda_2 A\\
\lambda_3 A & \lambda_4 A \\
\end{array}
\right] \in \mathcal{M}_{2n}(\R)
\]
est également diagonalisable. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la dimension du noyau de $B$ est au moins deux fois celle du noyau de~$A$. 
On pourra par exemple remarquer que si $u = (u_1,\ldots,u_n) \in \Ker A$, alors le vecteur
$(u_1,\ldots,u_n,0,\ldots,0) \in \Ker B$. 
\item Montrer que tout vecteur propre $v$ de $A$ permet de construire deux vecteurs propres linéairement
indépendants de $B$, que l'on pourra chercher sous la forme $(\alpha v, \, \beta v)$, pour $\alpha, \, \beta$
deux réels. 
\item Prouver alors que $B$ est diagonalisable. 
\end{enumerate}

\ \\

\noindent{\bf Exercice 2.} 
\begin{enumerate}
\item Montrer que
\[
\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k}\leq\ln\left(  n\right)  \text{.}
\]
\end{enumerate}
Soit $\left(  u_{n}\right)  _{n\geq0}$ la suite d\'{e}finie par $u_{0}>0$
et pour tout $n\in\mathbb{N}$,
\[
u_{n+1}=u_{n}+\frac{1}{u_{n}}~.
\]
On pose $v_{n}=u_{n}^{2}$ pour tout $n$. 
\begin{enumerate}
\item[(2)] Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}^{\ast}$,
\[
2\leq v_{n+1}-v_{n}\leq2+\frac{1}{2n}~.
\]
\item[(3)] Prouver que lorsque $n \to \infty$,
\[
u_{n} \sim \sqrt{2n}~.
\]
\end{enumerate}

\setstretch{1}
\nnewpage

\vspace{-1cm}
\noindent{\bf Exercice 1.} \\
On rappelle l'inégalité de Cauchy-Schwarz~: lorsque $Y$ et $Z$ sont deux variables aléatoires réelles,
on a 
\[
\E \left[ \abs[Y\,Z] \right] \leq \sqrt{\E \left[Y^2\right]} \sqrt{\E \left[Z^2\right]}~.
\] 
Soit $X$ une variable aléatoire réelle~; on suppose qu'elle admet un moment d'ordre deux.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $X$ admet également un moment d'ordre un~; sa variance est donc définie, on
la note $\Var X$. 
\item Rappeler l'inégalité de Tchebychev, qui majore 
\[
\P \Bigl( \abs[ {X - \E[X]} ] \geq \varepsilon \Bigr)
\]
pour tout $\varepsilon > 0$.
\item Prouver l'inégalité de Tchebychev-Cantelli, 
\[
\P \Bigl( X - \E[X] \geq \varepsilon \Bigr) \leq \frac{\Var X}{\Var X + \varepsilon^2}
\]
pour tout $\varepsilon > 0$. \\
On pourra appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz à
\[
\left( \varepsilon + \E[X] - X \right) \mathbb{I}_{ \{ X < \E[X] + \varepsilon \} }
\qquad \mbox{où} \qquad
\mathbb{I}_{ \{ X < \E[X] + \varepsilon \} } =
\left\{ 
\begin{array}{ll}
1 & \mbox{si } X < \E[X] + \varepsilon, \\
0 & \mbox{si } X \geq \E[X] + \varepsilon. 
\end{array}
\right.
\]
\item 
Déduire de la question précédente une majoration de 
\[
\P \Bigl( \abs[ {X - \E[X]} ] \geq \varepsilon \Bigr)~.
\]
\item On veut comparer les majorations découlant de (2) et (3) pour la quantité 
\[
\P \Bigl( {X - \E[X]} \geq \varepsilon \Bigr)
\]
et celles obtenues en (2) et (4) pour la quantité 
\[
\P \Bigl( \abs[ {X - \E[X]} ] \geq \varepsilon \Bigr)~.
\]
Quelle est, dans chaque cas, la meilleure~?
\end{enumerate}

\ \\

\noindent{\bf Exercice 2.} \\
Pour $k\in\mathbb{N}$, on note $f_{k}$ les fonctions d\'{e}finies sur
$\mathbb{R}$ par
\[
f_{k}\left(  x\right)  =x^{k} \, \exp (x)
\]
pour tout $x$ r\'{e}el. 
On note $E_{k}$ l'espace vectoriel engendr\'{e} par $f_{0},f_{1},...,f_{k}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\left(  f_{0},f_{1},...,f_{k}\right)  $ est une base de
$E_{k}$.
\end{enumerate}
On se place d\'{e}sormais dans $E_{3}$ et on consid\`{e}re l'application définie,
pour tout $f\in E_{3}$, par 
\[
\Phi\left(  f\right)  =f^{\prime\prime\prime}-2f^{\prime\prime}+f^{\prime
}~.
\]
\begin{enumerate}
\item[(2)] Montrer que $\Phi$ est un endomorphisme de $E_{3}$.
\item[(3)] $\Phi$ est-il diagonalisable?
\item[(4)] Montrer que $\Im \Phi = \Ker \Phi$.
\end{enumerate}

\setstretch{1.1}
\nnewpage

\noindent{\bf Exercice 1.} \\
On considère la suite $(u_n)$ définie par récurrence comme suit. On part de $u_1 \in \, ]0,1]$
et pour $n \geq 1$,
\[
u_{n+1} = f_n(u_n) \qquad \mbox{où} \qquad f_n(x) = \frac{x}{1 + n x^2}~.
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que $(u_n)$ est une suite convergente, on note $\ell$ sa limite. \\
Prouver que $\ell = 0$, par exemple en effectuant un raisonnement par l'absurde.
\item En étudiant les variations des fonctions $f_n$ pour $n \geq 1$, montrer que pour tout $n \geq 2$,
on a $u_n \leq 1/n$. 
\item En déduire que $(n u_n)_{n \geq 2}$ est une suite croissante~; montrer qu'elle admet une limite $0 < \ell' \leq 1$. 
\item Prouver que pour tout $n \geq 2$, \ $u_n > 0$ et 
\[
\qquad \qquad \qquad \frac{1}{u_{n+1}} - \frac{1}{u_n} = n u_n~;
\]
en tirer la valeur de $\ell'$. 
\end{enumerate}

\ \\

\noindent{\bf Exercice 2.} \\
Paul a dans sa poche deux bo\^{\i}tes d'allumettes indiscernables~; l'une
contient $5$ allumettes, l'autre $2$. Il choisit au hasard une des
bo\^{\i}tes, allume sa cigarette avec une seule allumette, puis remet la
bo\^{\i}te dans sa poche si elle n'est pas vide, ou la jette lorsqu'elle est
vide. \vspace{.2cm} \\
Soit $X$ la variable al\'{e}atoire repr\'{e}sentant le nombre de
cigarettes allum\'{e}es avant de jeter une des deux bo\^{\i}tes.
\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer la loi de $X$.
\item Calculer l'esp\'{e}rance de $X$.
\end{enumerate}

\nnewpage

\noindent{\bf Exercice 1.} \\
Soit $U$ une variable aléatoire de loi uniforme sur $[0,1]$.
\begin{enumerate}
\item Calculer, pour $\lambda > 0$, la fonction de répartition de la variable aléatoire 
\[
X = - \frac{1}{\lambda} \ln U
\]
et en déduire sa loi. 
\end{enumerate}
On considère jusqu'à la fin de l'exercice une 
variable aléatoire $Y$ de loi donnée par une densité $f$ continue sur $\R$,
sauf peut-être en 0~;
on suppose que $f = 0$ sur $\R^*_-$ et $f > 0$ sur~$\R^*_+$. 
\begin{enumerate}
\item[(2)] 
Montrer que sa fonction de répartition $F$ effectue une bijection $\R_+ \to [0,1[$, d'inverse noté
$F^{-1}$. 
\item[(3)] On définit $F^{-1}(1) = 0$~: déterminer la loi de $F^{-1}(U)$.
\item[(4)] Déterminer $F^{-1}(U)$ lorsque $Y$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$.
Comparer à ce que proposait la question (1) et commenter.  
\end{enumerate}

\ \\

\noindent{\bf Exercice 2.} \\
Soit $E$ l'ensemble des applications $f$ de classe $C^{2}$ sur $\mathbb{R}$
telles que
\[
\forall x\in\mathbb{R}, \qquad x^{2} \, f^{\prime\prime}( x )
-4x \, f^{\prime} ( x )  +6 \, f ( x )  = 0~.
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que $E$ est un $\mathbb{R}-$espace vectoriel.
\item Supposons qu'il existe un polyn\^{o}me $P$ de degr\'{e} $n\geq2$ dans $E$~:
montrer que $n$ vaut $2$ ou $3$.
\item En d\'{e}duire les polyn\^{o}mes \'{e}l\'{e}ments de $E$.
\item Pour un élément $f \in E$ fixé, on définit la fonction $g$ par
\[
\forall x\in\mathbb{R}^{\ast}, \qquad g(x) = \frac{f(x)}{x^{2}}~.
\]
Montrer que $g$ est de classe $C^{2}$ sur $\mathbb{R}^{\ast}$, puis que
$g^{\prime\prime}$ est nulle.
\item En d\'{e}duire une base de $E$ et la dimension de $E$.
\end{enumerate}

\nnewpage

\noindent{\bf Exercice 1.} \\
On dispose d'une urne contenant $n \geq 2$ boules numérotées 
$1,\,2,\,\ldots,\,n$. On effectue des tirages successifs au hasard et avec remise, notés $X_1,\,X_2,\,\ldots$~;
et on s'intéresse à la loi du premier temps $T$ où chacune des boules aura été tirée au moins une fois.
On note par ailleurs $S_k$, pour tout entier $k \geq 1$, le nombre de boules différentes vues entre le premier et le $k$-ième
tirage compris. 
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que $X_1 = X_2$~? 
\item Déterminer $\P (S_n = n)$ et en déduire $\P( T = \ell)$ pour tout entier $\ell \leq n$. 
\item Dans le cas $n = 2$, déterminer la loi de $T$.
\item Montrer que pour tout $n \geq 2$, l'espérance de $T$ vaut 
\[
\E [T] = 1 + \frac{n}{n-1} + \frac{n}{n-2} + \ldots + \frac{n}{2} + n~.
\]
\end{enumerate}

\ \\

\noindent{\bf Exercice 2.} \\
Soit une suite d'applications $\left(  f_{n}\right)  _{n\geq0}$ d\'{e}finies sur $[0,\,\pi/4]$ par
\[
f_{0} ( x )  = x
\]
et pour tout $n\in\mathbb{N}$, 
\[
f_{n+1} (x) = \int_{0}^{x}\left(  1+f_{n}^{2} \! \left(  t\right)
\right)  \d t~.
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer pour tout $n \geq 0$, que $f_{n}$ est une fonction
polynômiale, de degr\'{e} à préciser.
\item $x$ \'{e}tant fix\'{e} dans $[0,\,\pi/4]$, montrer que la suite $\left(  f_{n} (x)
\right) _{n\geq0}$ est croissante et major\'{e}e par le r\'{e}el
$\tan(x)$. Qu'en d\'{e}duire~?
\item Montrer que pour tout $x\in [0,\,\pi/4]$, 
\ \
$1 \leq f_{n}^{\,\prime} (x) \leq 2$.
\end{enumerate}

\nnewpage

\noindent{\bf Exercice 1.} \\
On considère un espace vectoriel $E$ et deux endomorphismes $f$ et $g$ non nuls tels que 
\[
E = \Im f + \Im g = \Ker f + \Ker g~.
\]
\begin{enumerate}
\item Donner un exemple de telle situation.
\item Lorsque $E$ est de dimension finie, montrer que les sommes ci-dessus sont en fait directes. 
\item Montrer que cela n'est pas nécessairement le cas lorsque $E$ est de dimension infinie.
On pourra par exemple considérer l'espace vectoriel des polynômes $E = \R[X]$ et
$f$ défini par $f(P) = P(0)$. 
\end{enumerate}

\ \\

\noindent{\bf Exercice 2.} \\
On veut considérer la fonction $f$ telle que 
\[
f\left(  x\right)  =\int_{x}^{3x} \,\,\frac{\exp\left(  -t\right)  }{t} \d t
\]
pour tout $x\in\left]  0,+\infty\right[$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est bien d\'{e}finie sur $\left]  0,+\infty\right[$.
\item Montrer que $f$ est d\'{e}rivable sur $\left]  0,+\infty\right[$ et
donner sa d\'{e}riv\'{e}e.
\item Montrer que $f$ admet un prolongement par continuit\'{e} en $0$ et
\'{e}tudier la d\'{e}rivabilit\'{e} de ce prolongement en $0$.
\item Etudier la branche infinie de $f$ et tracer l'allure de la courbe
repr\'{e}sentative de $f$.
\end{enumerate}

\nnewpage

\noindent{\bf Exercice 1.} \\
On fixe un entier $n \geq 2$~; pour tout couple de 
réels $a$ et $b$, on considère la matrice 
\[
M_{a,b} = \left[
\begin{array}{cccc}
a & b & \cdots & b \\
b  & a & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & b\\
b & \cdots & b & a\\
\end{array}
\right] \in \mathcal{M}_n(\R).
\]
\begin{enumerate}
\item Déterminer le rang de $M_{a,b}$ en fonction de $a$ et $b$.
\item Dans cette question uniquement, on suppose que $a=1$ et que $b$ est donné par une variable aléatoire $B$ uniforme sur 
$\{ 1,\ldots,n \}$~; quelle est la probabilité pour que $M_{a,B}$ soit inversible~? 
\item Montrer que pour tout couple $(a,b)$ la matrice
$M_{a,b}$ est diagonalisable. Préciser valeurs propres et sous-espaces propres associés. 
\end{enumerate}

\ \\

\noindent{\bf Exercice 2.} \\
Soit $f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$ d\'{e}finie par
\[
f (x,y)  =x^{3}+y^{3}-3xy+1
\]
pour tout $\left(  x,y\right)  \in\mathbb{R}^{2}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer les d\'{e}riv\'{e}es partielles d'ordre $1$ et d'ordre $2$ de
$f$.
\item D\'{e}terminer les points de $\mathbb{R}^{2}$ susceptibles d'\^{e}tre des
extrema de $f$.
\item 
Soit $t>0$ fix\'{e}. Etudier les extrema de $F_{t}$, où $F_t$ est la restriction de $f$
\`{a} la droite d'\'{e}quation $y=tx$.
\item En d\'{e}duire les extrema (absolus) de $f$.
\end{enumerate}

\setstretch{1}
\nnewpage

\vspace{-1cm}

\noindent{\bf Exercice 1.} \\
Soit $X$ une variable aléatoire sur $\mathbb{N}^* = \{ 1,\,2,\,3,\,\ldots \}$. 
On dit que $X$ est sans mémoire lorsque pour tous entiers $n_1,\,n_2 \geq 0$, 
on a 
\[
\P \left( X > n_2 \right) = \P \left( X > n_1 + n_2 \,\, \big| \,\, X > n_1 \right)~.
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que si $X$ suit la loi géométrique de paramètre $p \in \, ]0,1[$,
alors $X$ est sans mémoire. \\
Pourquoi s'attendait-on à cela~? (Penser à une interprétation de la loi géométrique.)
\item Montrer que si $X$ est sans mémoire, alors elle suit nécessairement une
loi géométrique. 
\end{enumerate}
Soit $Y$ une variable aléatoire, de loi admettant une densité $f$ telle que 
$f = 0$ sur $]-\infty, 0[$ et $f > 0$ sur $[0,+\infty[$. 
On dit que $Y$ est sans mémoire lorsque pour tous réels $t_1,\,t_2 > 0$, on a 
\[
\P \left( Y > t_2 \right) = \P \left( Y > t_1 + t_2 \,\, \big| \,\, Y > t_1 \right)~.
\]
Pour $t$ réel, on note $G(t) = \P(Y > t)$. 
\begin{enumerate}
\item[(3)] Montrer que si $Y$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$, alors elle est sans mémoire. 
\end{enumerate}
On veut montrer que $Y$ suit en fait nécessairement une loi exponentielle. 
\begin{enumerate}
\item[(4)] Reformuler la propriété d'absence de mémoire à l'aide de $G$. 
Montrer que pour tout $t > 0$ et $n \in \mathbb{N}$, on a $G(nt) = (G(t))^n$. 
\item[(5)] En déduire que pour tous entiers $p \geq 0$ et $q \geq 1$, on a 
\[
G \left(p/q \right) = \left( G(1) \right)^{p/q} = \exp \left( \frac{p}{q} \ln G(1) \right)~.
\]
\item[(6)] Conclure qu'il existe $\lambda > 0$ tel que pour tout $t > 0$, on a 
\[
G(t) = \exp \left( - \lambda t \right)
\]
et qu'ainsi, $Y$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$. 
\end{enumerate}

\ \\

\noindent{\bf Exercice 2.} \\
Soit $E$ l'ensemble des endomorphismes de $\mathbb{C}^{n}$. Supposons que
des éléments $f_1,\,f_2,\,\ldots,\,f_p$ de $E$ v\'{e}rifient
\[
\begin{array}{rcl}
(i) & f_{1}\neq 0_{E}, \, \ldots, \, f_{p}\neq 0_{E}, & \\
(ii) & f_{1}+f_{2}+...+f_{p}=I & \qquad \mbox{
o\`{u} $I$ est l'application identit\'{e}}, \\
(iii) & f_{i}\circ f_{j}=0 & \qquad \text{ pour } i\neq j \text{ avec
}\left(  i,j\right)  \in\left\{  1,\,\ldots,\,p\right\}^{2}.
\end{array}
\]
Pour $\left(  \alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{p}\right)  \in\mathbb{C}^{p}$ fixés, on pose
\[
f=\alpha_{1}f_{1}+\alpha_{2}f_{2}+\ldots+\alpha_{p}f_{p}~.
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $i\in\left\{  1,\ldots,p\right\}  $, on a
$f_{i}\circ f_{i}=f_{i}$.
\item Calculer $f^k$, pour tout entier $k \geq 1$.
\item Montrer que $\left\{  f_{1},f_{2},\ldots,f_{p}\right\}  $ forme une famille
libre de $E$.
\item Montrer que $\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{p}$ sont valeurs propres
de $f$.
\end{enumerate}

\setstretch{1.1}

\nnewpage

\noindent{\bf Exercice 1.} \\
On considère une suite $(b_n)$ d'entiers strictement positifs et on lui associe la suite de 
polynômes $(P_n)$ définis, pour $n \geq 2$, par
\[
P_n(X) = X^n - \left( b_1 X^{n-1} + \ldots + b_{n-1} X + b_n \right)~.
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que $P_n$ admet une racine dans $]0,\,+\infty[$. 
\item Montrer que cette racine est unique, on la note $\lambda_n$. (On pourra par exemple
procéder à un raisonnement par récurrence, en formulant soigneusement l'hypothèse
d'induction.)
\item Montrer que la suite $(\lambda_n)$ est croissante.
\item Montrer que $(\lambda_n)$ converge lorsque $b_j = 1$ pour tout $j \geq 1$. 
\end{enumerate}

\ \\

\noindent{\bf Exercice 2.} \\
Soient $f$ et $g$ deux densit\'{e}s de probabilit\'{e} sur $\mathbb{R}$,
nulles sur $\left]  -\infty,0\right[  $ et continues sur $\left[
0,+\infty\right[  $. On note $F$ et $G$ les fonctions de r\'{e}partition
associ\'{e}es~; elles sont d\'{e}finies par
\[
F(x) = \int_{0}^{x} f(t) \d t \qquad \text{ et } \qquad G(x) = \int_{0}^{x} g(t) \d t
\]
pour tout $x \geq 0$. \\
On suppose que $g(x)>0$ pour tout $x>0$ et que $\varphi = f/g$
est une fonction croissante sur $\left]0,+\infty\right[$.
\begin{enumerate}
\item Discuter le signe de $\displaystyle{\varphi-1}$ sur $\left]  0,+\infty\right[  $.
\item Etudier les variations de $H=F-G$ sur $\left[  0,+\infty\right[  $.
\item En d\'{e}duire que pour tout $x$ r\'{e}el, on a $F(x) \leq G(x)$.
\item Pour $n\in\mathbb{N}^{\ast}$, on consid\`{e}re la densit\'{e} de
probabilit\'{e} $f_{n}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ d\'{e}finie par
\begin{numcases}{f_{n}(x) = }
\nonumber
\frac{x^{n-1}}{\left(  n-1\right)  !} \, e^{-x} & si $x\geq0$ \\
\nonumber
0 & sinon~;
\end{numcases}
et on note $F_{n}$ la fonction de r\'{e}partition associ\'{e}e. Montrer que pour tout $n \geq 1$
et pour tout $x$ réel, on a $F_{n+1}(x) \leq F_n(x)$.
\end{enumerate}

\nnewpage

\noindent{\bf Exercice 1.} \\
Pour trois réels $a,\,b,\,c$, on considère le système linéaire suivant, d'inconnues
$x,\,y,\,z$,
\[
\left\{
\begin{array}{ccc}
ay + bx & = & c \\
cx + az & = & b \\
bz + cy & = & a \\
\end{array}
\right.
\]
Montrer que la solution est unique si et seulement si $abc \ne 0$, et exhiber
dans ce cas le triplet solution. \\
Discuter le nombre et la forme des solutions lorsque $abc = 0$. 

\ \\

\noindent{\bf Exercice 2.}
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout r\'{e}el $x > 0$, on a
\[
x+1< e^x < x \,e^x +1~.
\]
\item Posons $u_{0}=1$ et pour tout $n\geq0$, 
\[
u_{n+1}=\ln\left(  \frac{ e^{u_n} -1}{u_{n}}\right)~. 
\]
Montrer que la suite $\left(  u_{n}\right)  _{n\geq0}$ est bien d\'{e}finie~; et qu'elle est monotone.
\item Prouver que 
\[
\lim_{n\rightarrow+\infty} u_{n} = 0
\]
et que
\[
\lim_{n\rightarrow+\infty} \frac{u_{n+1}}{u_{n}} = \frac{1}{2}~.
\]
\end{enumerate}

\nnewpage

\noindent{\bf Exercice 1.} \\
On dispose $n \geq 2$ boules dans une urne, numérotées $1,\,2,\,\ldots,\,n$. 
Un premier joueur effectue des tirages sans remise (et au hasard chaque fois parmi les
boules restants) jusqu'au premier tour $X_1$ où il tire la boule $n$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $X_1$ suit une loi uniforme~; préciser son espérance. 
\end{enumerate}
Un second
joueur entre alors en scène, et deux situations vont être considérées. 
\begin{enumerate}
\item[(2)] Dans le premier cas, ce joueur effectue $X_2$ tirages jusqu'à obtenir la boule de 
plus grand numéro parmi les boules restantes (on pose $X_2 = 0$ lorsqu'il ne reste plus 
de boules dans l'urne). 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de $X_2$ conditionnellement à l'événement $X_1 = k$, pour tout 
$k = 1,\ldots,n$ (i.e., déterminer, pour tout $\ell$, $\ \P(X_2 = \ell \, | \, X_1 = k)$). 
\item $X_2$ est-elle indépendante de $X_1$~? 
\item Calculer l'espérance de $X_2$. 
\end{enumerate}
\item[(3)] Dans le second cas, et toujours s'il reste au moins une boule dans l'urne, 
le second joueur tire simplement une boule au hasard, dont on note $X_3$ le numéro. 
\begin{enumerate}
\item Comment définir $X_3$ lorsqu'il n'y a plus de boules dans l'urne, de
sorte que $X_3$ soit indépendante de $X_1$~? 
On pourra commencer par déterminer la loi conditionnelle de $X_3$ 
par rapport à tous les événements $X_1 = k$, \ $k \leq n-1$. 
\item Quelles sont alors la loi et l'espérance de $X_3$~?
\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\ \\

\noindent{\bf Exercice 2.} \\
On veut considérer la fonction $f$ telle que 
\[
f\left(  x\right)  =\frac{2x+1}{x^{2}+1}+2 \arctan \left(  \frac{1-x}
{1+x}\right)
\]
pour tout $x\in\left]  -\infty,-1\right[  \cup\left]  -1,+\infty\right[  $.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est bien d\'{e}finie sur $\left]  -\infty,-1\right[  \cup\left]  -1,+\infty\right[  $.
\item Montrer que $f$ admet un prolongement par continuit\'{e} $f_{-}:\left]
-\infty,-1\right]  \rightarrow\mathbb{R}$ en $-1$ \`{a} gauche~; et un
prolongement par continuit\'{e} $f_{+}:\left[  -1,+\infty\right[
\rightarrow\mathbb{R}$ en $-1$ \`{a} droite.
\item Calculer $f^{\prime}(x)$ pour tout $x\in\left]
-\infty,-1\right[  \cup\left]  -1,+\infty\right[  $.
\item Etudier la d\'{e}rivabilit\'{e} en $-1$ de $f_{+}$ et de $f_{-}$.
\item D\'{e}terminer le sens de variation de $f$ sur $\left]  -\infty,
-1\right[  \cup\left]  -1,+\infty\right[  $~; puis en dresser le tableau de variation.
\item Donner l'allure de la courbe représentative de $f$.
\end{enumerate}

\nnewpage 

\noindent{\bf Exercice 1.} \\
Soit $f : [0,1] \longrightarrow \R$ une fonction continue. On considère la suite $(u_n)$
définie, pour $n \geq 1$, par 
\[
u_n = \prod_{k=1}^n \left( 1 + \frac{1}{n}\, f \left( \frac{k}{n} \right) \right) 
\]
et on cherche à montrer qu'elle converge vers une limite à déterminer. 
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'à partir d'un certain rang $n_0$, on a pour tout 
$n \geq n_0$ et pour tout $k = 1,\ldots,n$,
\[
\left| \frac{1}{n} \,\, f \left( \frac{k}{n} \right) \right| \leq \frac{1}{2}~.
\]
\item Montrer que pour tout $u \in [-1/2,\,1/2]$,
on a les inégalités $0 \leq u - \ln (1+u) \leq u^2$. 
\item Montrer que $(\ln u_n)_{n \geq n_0}$ est définie, et conclure. 
\end{enumerate}

\ \\

\noindent{\bf Exercice 2.} \\
Un p\^{e}cheur assidu est pr\^{e}t \`{a} passer le temps qu'il faudra au bord
d'un lac pour p\^{e}cher $N$ poissons de son esp\`{e}ce favorite, la truite
fario. Soit $p$ la proportion de cette esp\`{e}ce dans le lac parmi la
population totale (on pourra raisonner comme si cette population totale
\'{e}tait infinie).
\begin{enumerate}
\item Soit $T$ le nombre de poissons p\^{e}ch\'{e}s pour obtenir une
premi\`{e}re truite fario~: expliciter la loi de $T$.
\item Soit $T_{N}$ le nombre de poissons qu'il faudra p\^{e}cher pour
r\'{e}aliser son objectif~: calculer $\E[T_{N}]$.
\item Evaluer le nombre de poissons qu'il va devoir p\^{e}cher pour que la
probabilit\'{e} qu'il r\'{e}alise son objectif soit voisine de $5\%$. \\ 
\vspace{-.4cm}

\noindent On donne
\[
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{1,64}^{+\infty} e^{-x^2/2} \d x = 0,\!05~.
\]
\end{enumerate}

\nnewpage
\fancyhead[CO,CE]{\normalfont\small Planche 17} 

\noindent{\bf Exercice 1.} \\
On dit qu'une suite $(A_n)$ de matrices $\displaystyle{A_n = \left[ A_n^{(i,j)} \right]_{i,j}}$
tend vers une matrice $A$ lorsque, pour tout couple $(i,j)$, on
a $A_n^{(i,j)} \to A^{(i,j)}$. \\
Soit $\alpha$ un nombre réel. On 
veut montrer que la suite $(A_n)$ des matrices définies, pour $n \geq 1$, par
$A_n = (B_n)^n$ avec
\[
B_n = \left[ 
\begin{array}{cc}
1 & \frac{\alpha}{n} \\
- \frac{\alpha}{n} & 1 
\end{array}
\right]~, 
\]
converge, vers une limite à préciser. 
\begin{enumerate}
\item Traiter le cas $\alpha = 0$. On suppose $\alpha \ne 0$ pour la suite des questions. 
\item Montrer que l'on peut écrire chaque $B_n$ sous la forme
\[
B_n = \rho_n \left[ 
\begin{array}{cc}
\cos \varphi_n & \sin \varphi_n \\
- \sin \varphi_n & \cos \varphi_n
\end{array}
\right]~, 
\]
où l'on caractérisera $\rho_n$ et $\varphi_n$ en fonction de $\alpha$ et $n$. 
\item En déduire que 
\[
A_n = \left( \rho_n \right)^n \left[ 
\begin{array}{cc}
\cos \left( n \varphi_n \right) & \sin \left( n \varphi_n \right) \\
- \sin \left( n \varphi_n \right) & \cos \left( n \varphi_n \right)
\end{array}
\right]~.
\]
\item Montrer que $(\rho_n)^n \to 1$. 
\item Conclure à la convergence de $(A_n)$, et préciser la limite. 
\end{enumerate}

\ \\

\noindent{\bf Exercice 2.} \\
Soient $f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$ une fonction de classe $C^2$~;
$u:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $ et
$v:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ deux fonctions d\'{e}rivables sur
$\mathbb{R}$. \\
On admettra que $\varphi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ d\'{e}finie pour 
tout $t \in \R$ par
\[
\varphi(t) = f \bigl( u(t),\,v(t) \bigr)
\]
est d\'{e}rivable sur $\mathbb{R}$, de dérivée,
pour tout $t \in \R$,
\[
\varphi^{\prime}(t) = u^{\prime}(t) \, \frac{\partial
f}{\partial x} \bigl(u(t),\,v(t) \bigr) 
+ v^{\prime}(t) \, \frac{\partial
f}{\partial y} \bigl(u(t),\,v(t) \bigr)~. 
\]
On fixe deux réels $a,\,b$. Pour un paramètre $m \in \R$,
on considère les fonctions $u$ et $v_m$ définies pour tout $t \in \R$
par 
\[
u(t) = a + t \quad \text{et} \quad v_m(t) = b + mt~,
\]
et on note $\varphi_m$ la fonction définie par 
\[
\varphi_m(t) = f \bigl( u(t),\,v_m(t) \bigr) = f \bigl( a+t,\,b+mt \bigr)~.
\]
\begin{enumerate}
\item Calculer $\varphi^{\prime}_m$ et $\varphi^{\prime\prime
}_m$ en fonction des d\'{e}riv\'{e}es partielles d'ordre $1$
et $2$ de $f$.
\end{enumerate}
On supposera dor\'{e}navant que $f$ vérifie les trois propri\'{e}t\'{e}s suivantes,
\begin{align}
\frac{\partial f}{\partial x}\left(  a,b\right)  =\frac{\partial
f}{\partial y}\left(  a,b\right) & = 0 \tag{H1}\\
\forall (x,\,y) \in \R^2, \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \,\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}\left(  x,y\right) & > 0  \tag{H2} \\
\forall (x,\,y) \in \R^2, \qquad \qquad \left(  \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}\left(  x,y\right)
\right)  ^{2}-\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}\left(  x,y\right)
\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}\left(  x,y\right) & \leq 0 \tag{H3}
\end{align}
\begin{enumerate}
\item[(2)] Commenter l'hypoth\`{e}se (H1). 
\item[(3)] Montrer en utilisant (H2) et (H3) que
$\varphi^{\prime\prime}_m\geq 0$.
\item[(4)] En d\'{e}duire les variations de $\varphi_m$.
\item[(5)] Montrer que $f$ admet au point $(a,b)$ un minimum absolu.
\end{enumerate}

\nnewpage
\fancyhead[CO,CE]{\normalfont\small Planche 18} 

\noindent{\bf Exercice 1.} \\
Soit $(h_n)$ une suite de nombres réels strictement positifs. On considère
la suite $(J_n)$ d'intégrales définies, pour $n \geq 1$, par 
\[
J_n = \int_0^1 \frac{1}{1 + x h_n} \d x~;
\]
on introduit également la suite $(I_n)$ d'intégrales
\[
I_n = \int_0^1 f_n(x) \d x \qquad \mbox{où} \ \forall x \in [0,\,1], \ \ 
\ f_n(x) = \frac{1}{\displaystyle{(1 + x) \left( 1 + \frac{x}{2} \right) \cdots \left( 1 + \frac{x}{n} \right)}}~.
\]
\begin{enumerate}
\item Calculer, pour tout $n$, la valeur de $J_n$. \\
En déduire que lorsque $h_n \to \infty$, alors $J_n \to 0$.
\item Montrer que pour une suite $(h_n)$ bien choisie, on a $I_n \leq J_n$ et conclure que $I_n \to 0$. 
\item Calculer et encadrer la dérivée de la fonction $- \ln f_n$,
et en déduire que pour tout $x \in [0,1]$,
\[
e^{- u_n\,x} \leq f_n(x) \leq e^{- v_n\,x} 
\]
où $(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites à préciser, telles que $u_n \sim \ln n$ et $v_n \sim \ln n$. 
\item En déduire un encadrement de $I_n$ en fonction de $u_n$ et $v_n$~; 
conclure à l'équivalent $I_n \sim 1/(\ln n)$.  
\end{enumerate}

\ \\

\noindent{\bf Exercice 2.} \\
Soit $n\in\mathbb{N}^{\ast}$. On consid\`{e}re la fonction $f_{n}
:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ d\'{e}finie par
\begin{numcases}{f_n(x) =}
\nonumber
\frac{x^{n-1}}{\left(  n-1\right)  !} \,\, e^{-x} & si $x\geq 0$\\
\nonumber
0 & sinon.
\end{numcases}
\begin{enumerate}
\item V\'{e}rifier que $f_{n}$ est une densit\'{e} de probabilit\'{e}.
\end{enumerate}
On notera dor\'{e}navant $X$ une variable al\'{e}atoire r\'{e}elle de loi de densit\'{e}
$f_{n}$.
\begin{enumerate}
\item[(2)] Calculer $\E[X]$.
\item[(3)] Calculer
\[
\Psi(\lambda) = \ln \left( \E \left[ e^{- \lambda \bigl( X - \E[X] \bigr)} \right] \right) 
\]
pour tout réel $\lambda > 0$.
\item[(4)] V\'{e}rifier que
\[
\Psi(\lambda)  \leq \frac{n\lambda^{2}}{2}
\]
pour tout réel $\lambda > 0$.
\item[(5)] Montrer que pour tout $\lambda > 0$ et tout $x > 0$,
\[
\P\,\Bigl(  \E[X] -X\geq x\Bigr) \leq e^{-\lambda x + \Psi(\lambda)}~.
\]
\item[(6)] En d\'{e}duire que pour tout $x>0$,
\[
\P\,\Bigl(  \E[X] -X\geq x\Bigr) \leq \exp\left(  -\frac{x^{2}}{2n}\right)~.
\]
\end{enumerate}

\bigskip
\bigskip

\noindent\textsl{Dans cet exercice, on pourra utiliser (sans la d\'{e}montrer) l'in\'{e}galit\'{e} de
Markov pour une variable al\'{e}atoire $Y$ positive, admettant une
esp\'{e}rance~:
\[
\P \Bigl(  Y\geq t \Bigr) \leq \, \frac{\E [Y]}{t}
\]
pour tout réel $t > 0$.}

\nnewpage

\fancyhead[CO,CE]{\normalfont\small Planche 19} 

\noindent{\bf Exercice 1.} 
\begin{enumerate}
\item Pour un réel $t > 0$ et un entier $n \geq 0$, montrer que la fonction 
\[
\varphi_{n,t} : y \in [0,t] \longmapsto y (t-y)^{n}
\]
admet un maximum, que l'on précisera. 
\item On considère la fonction $f_2$ définie sur $\mathbb{R}^2$ par $f_2(x,y) = xy$.
Montrer que $f_2$ admet un maximum à déterminer sur le segment 
$A_{2,t} = \{ (x,y) : x+y=t, \ x \geq 0 \mbox{ et } y \geq 0 \}$, 
où $t >0$ est un réel fixé. On note $M_{2,t}$ ce maximum. 
\item Pour tout $n \geq 2$, on introduit la fonction
\[
f_n : (x_1,x_2,\ldots,x_n) \longmapsto x_1\,x_2\,\ldots\,x_n~;
\]
montrer par récurrence que pour tout $t > 0$, la fonction $f_n$ admet un maximum $M_{n,t}$ (à déterminer)
sur l'ensemble
\[
A_{n,t} = \Bigl\{ (x_1,x_2,\ldots,x_n) : x_1 + \ldots + x_n = t \mbox{ et pour tout } i, \ x_i \geq 0 \Bigr\}~.
\] 
\end{enumerate}

\ \\

\noindent{\bf Exercice 2.} \\
Consid\'{e}rons le polyn\^{o}me
\[
P\left(  X\right)  =\sum_{p=0}^{n} \binom{2n+1}{2p+1}\left(  -1\right)
^{p}X^{n-p}~.
\]
On pose pour tout $k\in\left\{  1,...,n\right\}  $,
\[
x_{k}=\frac{1}{\tan^{2}\left(  \frac{k\pi}{2n+1}\right)  }~.
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que les $x_{k}$ sont deux \`{a} deux distincts.
\item Indiquer le degr\'{e} de $P$ et son coefficient dominant.
\item Montrer que
\[
P\left(  X^{2}\right)  =\frac{1}{2i}\left[  \left(  X+i\right)  ^{2n+1}
-\left(  X-i\right)  ^{2n+1}\right]
\]
(o\`{u} $i \in \mathbb{C}$ est tel que $i^{2}=-1$).
\item En d\'{e}duire que $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ sont racines de $P$ et
factoriser $P$.
\end{enumerate}


\end{document}