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\renewcommand{\Re}{\mathop{\mathrm{Re}}}
\newcommand{\Tr}{\mathop{\mathrm{Tr}}}
\newcommand{\rg}{\mathop{\mathrm{rg}}}
\newcommand{\comm}{\noindent
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
{\sl \small
Vous traiterez les exercices suivants et les présenterez {tous
deux}, dans l'ordre de votre choix. Le temps de préparation est d'une heure~; l'interrogation durera une demi-heure
environ. Le jury reviendra sur {toutes} les questions, y compris celles que vous n'auriez pas eu le temps
d'aborder pendant la préparation, et vous donnera des indications le cas échéant. \\
\vspace{0.5cm}
}
}
\newcommand{\nnewpage}{\newpage \addtocounter{ctr}{1} \comm}
\newcommand{\cM}{\mathcal{M}}
\renewcommand{\th}{\mathop{\mathrm{th}}}

\newcommand{\warning}{\begin{center}
\vspace{-.2cm} \textbf{Attention~!} \ \ L'énoncé tient en deux pages. \\
\end{center}
\ \\}

\newcounter{ctr}

\fancyhead[CO,CE]{\normalfont\small Planche \arabic{ctr}}
\fancyhead[LO,RE]{}
\fancyfoot[RO,LE]{}
\fancyhead[RO,LE]{}
\fancyfoot[CE,CO]{\normalfont\small Epreuves orales de mathématiques 2008, concours d'entrée à l'Ecole normale supérieure, voie B/L}

\begin{document}

\setcounter{ctr}{1}

\setstretch{1.1}
\thispagestyle{fancy}
\pagestyle{fancy}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\comm

\noindent{\bf Exercice 1.} \\
On considère une suite $U_1,\,U_2,\,\ldots$ de variables aléatoires indépendantes et identiquement
distribuées selon la loi uniforme sur $[0,1]$. On fixe dans ce qui suit un réel $\lambda > 0$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer (pour tout entier $j$) la loi de
\[
Y_j = - \frac{1}{\lambda} \, \ln U_j~.
\]
\item On note $M_n = \max \, \bigl\{ Y_1,\,\ldots,\,Y_n \bigr\}$. Donner la fonction
de répartition de $M_n$.
\item On définit $Z_n = \lambda\,M_n - \ln n$ et on note $F_n$ la fonction de répartition
de $Z_n$. Montrer que pour tout $t \in \R$, la suite $(F_n(t))$ converge vers une limite notée $G(t)$.
\item La fonction $G$ ainsi définie est-elle encore une fonction de répartition~? \\
(On pourra
montrer que $G$ est inversible et s'intéresser à $G^{-1}(U)$, où $U$ suit une loi
uniforme sur $[0,1]$.)
\end{enumerate}

\ \\

\noindent{\bf Exercice 2.} \\
On fixe un entier $n \geq 1$.
Soit $A$ et $B$ dans $\cM_n(\R)$ (deux matrices réelles de taille $n \times n$),
ayant chacune une seule valeur propre. On note $\lambda$ la valeur propre de $A$
et $\mu$ celle de $B$.
Pour une autre matrice $C \in \cM_n(\R)$ fixée,
on veut donner une condition nécessaire et suffisante pour que la matrice
\[
M = \left[
\begin{array}{cc}
A & C \\
0 & B \\
\end{array}
\right] \in \cM_{2n}(\R)
\]
soit diagonalisable.

On note $I_n$ et $I_{2n}$ les matrices identités de, respectivement, $\cM_n(\R)$
et $\cM_{2n}(\R)$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que les valeurs propres de $M$, quand elles existent, sont $\lambda$ et/ou $\mu$.
\item En déduire que lorsque $M$ est diagonalisable, $(M-\lambda I_{2n})(M - \mu I_{2n})$ est la matrice nulle.
\item En tirer (toujours sous l'hypothèse que $M$ est diagonalisable et lorsque $\lambda \ne \mu$)
que $A = \lambda I_n$ et $B = \mu I_n$.
\item Montrer que $M$ est diagonalisable si et seulement si ou bien $M$ est de la forme $\lambda I_{2n}$ ou bien $\lambda \ne \mu$.
\end{enumerate}




\nnewpage

\noindent{\bf Exercice 1.} \\
Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 > 0$ et la relation de récurrence
\[
u_{n+1} = u_n + \frac{n}{u_n}
\]
pour tout entier $n \geq 0$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $(u_n)$ est croissante et qu'elle diverge vers $+\infty$.
\item Montrer que pour tout $n \geq 1$,
\[
u_n^2 \geq \frac{n(n-1)}{2}~.
\]
\item En déduire que $u_n^2 \sim n^2$. \\
On pourra étudier au préalable la suite $\bigl( u_{n+1}^2 - u_n^2 \bigr)$.
\end{enumerate}

\ \\

\noindent{\bf Exercice 2.} \\
On fixe un entier $n \geq 1$ et on note $\cM_n(\R)$ l'espace
vectoriel des matrices à coefficients réels de taille $n \times n$.
Soit une matrice $M \in \cM_n(\R)$ telle
que $M^3 = M^2$. On note $I_n \in \cM_n(\R)$ la matrice identité.
\begin{enumerate}
\item Trouver un polynôme $P$ tel que $X^2 - (X-1)\,P = 1$.
S'en inspirer pour exhiber une matrice $A$ telle que $M^2 - (M-I_n)\,A = I_n$.
\item Montrer que $\R^n = \Ker (M-I_n) \oplus \Ker M^2$.
\item Lorsque $n = 3$ et que 1 est valeur propre de $M$, montrer que $M$ est semblable \`a l'une des 4 matrices suivantes,
$$\left[
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{array}
\right]~, \quad
\left[
\begin{array}{ccc}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&0
\end{array}
\right]~, \quad
\left[
\begin{array}{ccc}
1&0&0\\
0&0&0\\
0&0&0
\end{array}
\right]~,
\left[
\begin{array}{ccc}
1&0&0\\
0&0&1\\
0&0&0
\end{array}
\right]~.
$$
\end{enumerate}

\nnewpage

\warning

\noindent{\bf Exercice 1.} \\
Soit $n \geq 1$ un entier. On note $E_n$ l'ensemble des polynômes réels de degré inférieur
ou égal à $n$ s'annulant en 0, c'est-à-dire,
\[
E_n = \bigl\{ P \in \R_n[X] : P(0) = 0 \bigr\}~.
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que $E_n$ est un sous-espace vectoriel de $\R[X]$, dont on précisera la dimension et
une base simple.
\item Soit $u : P(X) \in E_n \mapsto X \bigl( P(X) - P(X-1) \bigr)$. Montrer que $u$ est un endomorphisme
et préciser sa représentation matricielle dans la base exhibée au point précédent.
\item Dans cette question, $n$ n'est plus fixé.
Soit $R \in \R[X]$ un polynôme quelconque (aucune contrainte sur le degré). A quelle
condition nécessaire et suffisante existe-t-il un polynôme $P \in \R[X]$ tel
que $R = X \bigl( P(X) - P(X-1) \bigr)$~?
\end{enumerate}

\ \\

\noindent{\bf Exercice 2.} \\
On considère $N$ variables aléatoires $X_1,\,\ldots,\,X_N$
indépendantes et identiquement distribuées selon la loi
de Bernoulli de param\`etre $1/2$.
\begin{enumerate}
\item On note, pour tout $2\leq n \leq N$, $p_n$ la probabilit\'e de voir pour la premi\`ere fois la suite $0,\,1$ (dans cet ordre) aux rangs $n-1$ et $n$ dans la suite $X_1,\,X_2,\,\ldots,\,X_N$. (On dira alors que la position de la suite est $n$.)
    \begin{enumerate}
    \item Calculer $p_2$, $p_3$ et $p_4$.
    \item Déterminer la formule générale de $p_n$ et montrer en particulier que cette probabilit\'e ne d\'epend pas de $N$.
    \end{enumerate}
\item Soit $s$ un r\'eel de $[0,\,1]$. Calculer
$$G_N(s)=\sum_{n=2}^N p_n \,s^n~,$$
et \'ecrire $G_N(s)$ sous la forme $h(s)+R_N(s)$ avec $R_N(s)$ tendant vers $0$ quand $N$ tend vers $+\infty$.
\item Si la suite $0,\,1$ n'est pas vue entre $2$ et $N$ on dira que sa position est $0$. On note la probabilit\'e de cet \'ev\'enement $p_0(N)$. \\
    Interpr\'eter $G_N(1)$ en fonction de $p_0(N)$. Donner la limite de $p_0(N)$ lorsque $N \to +\infty$.
\item Montrer que la position moyenne du premier instant entre 2 et $N$ o\`u l'on voit la suite $0,\,1$ est donn\'ee par la d\'eriv\'ee de $G_N$ en $1$.
\item Expliquer pourquoi $R_N'(1)$, la d\'eriv\'ee de $R_N$ en $1$  tend vers $0$ quand $N$ tend vers $+\infty$.
En d\'eduire la limite de la position moyenne du premier instant où l'on voit $0,\,1$, lorsque $N \to +\infty$.
\end{enumerate}

\nnewpage

\noindent{\bf Exercice 1.} \\
Soit $a$ un réel non nul et
\[
A = \left[
\begin{array}{ccc}
1 & a & a^2 \\
1/a & 1 & a \\
1/a^2 & 1/a & 1
\end{array}
\right]~.
\]
\begin{enumerate}
\item Quel est le rang de $A$~?
\item Déterminer valeurs et vecteurs propres de $A$~; $A$ est-elle diagonalisable~?
\end{enumerate}
On fixe maintenant un entier $n \geq 1$ et
$2n$ réels $a_1,\ldots,a_n$ et $b_1,\ldots,b_n$ (certains d'entre eux peuvent être nuls).
On note $M$ la matrice $M = \bigl[ a_i\,b_j \bigr]_{1 \leq i,\,j \leq n}$.
\begin{enumerate}
\item[(3)] Montrer que $M = A$ pour des paramètres $n$, $a_i$ et $b_j$ à préciser.
\item[(4)] Donner les valeurs propres de $M$ (et leur multiplicité) en fonction des $a_i$ et des $b_j$,
et indiquer une condition nécessaire et suffisante de diagonalisabilité de $M$.
\end{enumerate}
~\\

\noindent{\bf Exercice 2.}
\begin{enumerate}
\item On dispose d'une baguette de bois de longueur $b$ qu'on peut couper comme l'on veut.
On veut construire avec elle les ar\^etes d'un rectangle de surface
intérieure maximale. Comment fait-on~?
\end{enumerate}
Il s'agit maintenant de r\'ealiser un lampion en forme de pav\'e ({\em id est}, une figure à huit sommets et
dont toutes les faces sont des rectangles) avec des baguettes de bois, pour les ar\^etes, et du papier, pour les faces.
On ne dispose que d'une tr\`es grande baguette de bois de longueur $a$ que l'on peut couper ici encore comme l'on veut.
\begin{enumerate}
\item[(2)] On veut maximiser le volume int\'erieur du pav\'e. Justifier
que la somme des longueurs des ar\^etes du pav\'e doit \^etre \'egale \`a $a$.
\item[(3)] Trouver le volume maximal possible ainsi que la longueur des baguettes n\'ecessaire pour l'atteindre. \\
(On pourra soit déduire le résultat de la question (1), soit utiliser directement le th\'eor\`eme des extrema li\'es.)
\item[(4)] Quelle surface totale de papier est-il alors n\'ecessaire d'avoir pour recouvrir le lampion ?
\end{enumerate}





\nnewpage

\warning

\noindent{\bf Exercice 1.} \\
On définit la fonction tangente hyperbolique $\th$ pour tout r\'eel $x$ par
$$\th(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}~.$$
\begin{enumerate}
\item Donner un d\'eveloppement limit\'e \`a l'ordre 3 de $\th(x)$ quand $x$ tend vers 0.
\item Etudier, en fonction du r\'eel $x$, la convergence de la s\'erie $\sum_{n\geq 0} u_n$ de terme g\'en\'eral $$u_n=\frac1{2^n}\,\th\!\left(\frac{x}{2^n}\right)~.$$
\item Donner la somme $\Sigma(x)$ de la s\'erie quand elle existe. \\
On pourra montrer que pour $x \ne 0$,
$$\frac{2}{\th(2x)}-\frac{1}{\th(x)}=\th(x)~.$$
\item Etudier la continuit\'e de $\Sigma(x)$.
\end{enumerate}

\ \\

\noindent{\bf Exercice 2.} \\
On fixe un entier $n \geq 2$ et on considère l'espace vectoriel
$\cM_n(\R)$ des matrices $n \times n$ à coefficients réels~; la matrice identité
sera désignée par $I_n$.
On note $\Tr : \cM_n(\R) \to \R$ l'application trace, définie de la sorte. Pour
$M = \bigr[ m_{i,j} \bigr]$, on pose
\[
\Tr(M) = \sum_{k = 1}^n m_{k,k}~.
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\Tr$ est une application linéaire, vérifiant $\Tr (AB) = \Tr (BA)$ pour
tout couple de matrices $A$ et $B$.
\item Quelle est la dimension de l'espace vectoriel des endomorphismes
de $\cM_n(\R)$~?
\item Soit $u : \cM_n(\R) \to \cM_n(\R)$ un tel endomorphisme, pour lequel on suppose qu'il existe
un réel $\lambda_u$ tel que
\[
\Tr\bigl(u(M)\bigr) = \lambda_u\,\Tr(M)
\]
pour toute matrice $M$. (On dit que $u$ dilate la trace d'un facteur $\lambda_u$.)
\begin{enumerate}
\item Montrer que
\[
v : M \mapsto \frac{1}{n} \, \Tr(M) \, I_n
\]
est un endomorphisme de $\cM_n(\R)$ qui
conserve la trace, {\em id est}, la dilate d'un facteur $\lambda_v = 1$.
\item Montrer que $\cM_n(\R) = \Ker \Tr \oplus \Vect I_n$, où
$\Vect I_n = \{ \lambda I_n, \ \lambda \in \R \}$ est l'espace vectoriel engendré par $I_n$.
\item En déduire que l'ensemble des endomorphismes $u$ dilatant la trace et tels que $u(I_n) = \lambda_u\,I_n$
forme un sous-espace vectoriel, dont on précisera la dimension.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\nnewpage

\noindent{\bf Exercice 1.} \\
On fixe un entier $n \geq 2$ et on considère l'espace vectoriel
$\cM_n(\R)$ des matrices $n \times n$ à coefficients réels.
On note $\Tr : \cM_n(\R) \to \R$ l'application trace, définie de la sorte. Pour
$M = \bigr[ m_{i,j} \bigr]$, on pose
\[
\Tr(M) = \sum_{k = 1}^n m_{k,k}~.
\]
Soient $A$ et $B$ deux matrices fix\'ees non nulles de $\cM_n(\R)$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que
\begin{eqnarray*}
\psi : \cM_n(\R) & \longrightarrow & \R \\
X & \longmapsto & \Tr(AX)
\end{eqnarray*}
est une application lin\'eaire et donner la dimension de son noyau.
\item On \'etudie maintenant l'application
\[
\begin{array}{cccc}
\varphi: & \cM_n(\R)&\longrightarrow & \cM_n(\R)\\
& X & \longmapsto & X + \Tr (AX) \, B
\end{array}
\]
Montrer que $\varphi$ est une application lin\'eaire qui n'est pas l'identit\'e.
\item Montrer que 1 est valeur propre de $\varphi$. Donner la dimension de l'espace propre associ\'e.
\item Conclure que $\varphi$ est diagonalisable si et seulement si $\Tr(AB) \ne 0$.
\end{enumerate}

\ \\

\noindent{\bf Exercice 2.} \\
On veut poser
\[
I : x \in [0,+\infty\,[ \,\, \mapsto \int_0^x \frac{\abs[\sin t]}{t} \,\d t~.
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que $I$ est bien définie.
\item Déterminer $a$ tel que $f : t \mapsto \abs[\sin t] - a$
admette une primitive $F$ telle que $F(k\pi) = 0$ pour tous
$k = 0,\,1,\,2,\,\ldots$. Justifier que $F$ est $\pi$--périodique.
\item En déduire l'équivalent, quand $x \to \infty$,
\[
\int_\pi^x \frac{\abs[\sin t]}{t} \,\d t \sim a \, \ln x~.
\]
\item Montrer qu'il existe un réel $b$ tel que, lorsque
$x \to \infty$,
\[
I(x) - a \, \ln x - b = O(1/x)~.
\]
\end{enumerate}

\nnewpage

\warning

\noindent{\bf Exercice 1.} \\
Soit $E$ un $\R$--espace vectoriel de dimension finie et $f$ une application
lin\'eaire de $E$ dans $E$. On note $f^2$ l'application compos\'ee $f \circ f$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\Ker f \subset \Ker f^2$.
\item On d\'efinit une application lin\'eaire $g$ par
\[
\begin{array}{cccc}
g: & \Ker f^2 & \longrightarrow & E\\
& x & \longmapsto & f(x)
\end{array}
\]
Montrer que $\Im g \subset \Im f \cap \Ker f$.
\item Prouver que $\Ker g = \Ker f$ et que les rangs de $f$ et $g$ vérifient $\rg g \leq \rg f$.
\item Démontrer que $\dim \bigl( \Ker f^2 \bigr) \leq 2 \dim \bigl( \Ker f \bigr).$
\end{enumerate}

\ \\

\noindent{\bf Exercice 2.} \\
On dispose d'une urne contenant un grand nombre de boules et on va y effectuer des tirages
avec remise. Les boules sont de trois couleurs possibles~: rouge, jaune et vert. Les proportions
respectives de boules de couleur rouge, jaune et verte sont $p_1,\,p_2,\,p_3$, où tous les $p_j$ sont
tels que $0 \leq p_j < 1$.
Soit $N$ le nombre de tirage (avec remise, donc) nécessaires pour avoir obtenu au moins
deux boules de couleurs différentes.
\begin{enumerate}
\item Déterminer, pour tout entier $n \geq 1$, la valeur de $\P \{ N = n \}$.
\item Montrer que pour $0 \leq p < 1$, la série
\[
\sum_{k \geq 2} k\,p^{k-1}
\]
est convergente et déterminer sa valeur, par exemple en déterminant explicitement
\[
\sum_{k = 1,\ldots,N} k\,p^{k-1}~.
\]
\item En déduire que
\[
\E\,N = \frac{1}{1 - p_1} + \frac{1}{1 - p_2} + \frac{1}{1 - p_3} - 2~.
\]
\item Montrer que $\E\,N$ admet un minimum local au point $(p_1,\,p_2,\,p_3) = (1/3,\,1/3,\,1/3)$,
\begin{enumerate}
\item en prouvant au préalable que $\E\,N$ est susceptible d'admettre un minimum local en $(1/3,\,1/3,\,1/3)$ uniquement~;
on pourra à cet effet appliquer le théorème des extrema liés ou
écrire $\E\,N = F(p_1,\,p_2)$ pour un domaine $D$ et une fonction $F : D \to \R$
à préciser~;
\item puis en vérifiant que $\E\,N$ admet effectivement un minimum local en $(1/3,\,1/3,\,1/3)$.
\end{enumerate}
\item Seulement si le temps le permet, prouver qu'en $(1/3,\,1/3,\,1/3)$, $\ \E \, N$ admet
même son minimum global sur l'ensemble des triplets
de proportions $(p_1,\,p_2,\,p_3)$ tels que $p_j \ne 1$ pour tout $j \in \{ 1,\,2,\,3 \}$.
\end{enumerate}

\nnewpage

\warning

\noindent{\bf Exercice 1.} \\
Soit $X_1,\,X_2,\,\ldots$ une suite de variables aléatoires indépendantes et
identiquement distribuées selon une loi de Bernoulli de paramètre $p$ fixé,
avec $0 < p < 1$.
Pour tout entier $j \geq 1$, on note $Y_j = X_j\,X_{j+1}$~; pour tout entier $n \geq 1$,
on définit alors $S_n = Y_1 + \ldots + Y_n$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi des $Y_j$.
\item Les variables $Y_j$ sont-elles deux à deux indépendantes~?
\item Montrer que
\[
\Var S_n = \sum_{j=1}^n \Var Y_j + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} \Cov (Y_i,\,Y_j)~.
\]
\item Calculer alors $\E \, S_n$ et $\Var S_n$.
\item Montrer que la suite $(S_n/n)$ converge en probabilité vers une limite à préciser.
\end{enumerate}

\ \\

\noindent{\bf Exercice 2.} \\
Un berger poss\`ede un troupeau de 101 moutons et remarque par hasard la propri\'et\'e suivante :
pour chaque mouton $i$ (entre 1 et 101), il peut trouver une mani\`ere de scinder le reste du troupeau (les 100 moutons restants) en deux groupes $A_i$ et $B_i$ de 50 moutons chacun et tels que la somme des poids des moutons du groupe $A_i$ d'une part,
et celle de ceux de $B_i$ d'autre part, soient égales.
Il en d\'eduit que tous les moutons ont le m\^eme poids. Cet exercice se propose de retrouver son raisonnement.
\begin{enumerate}
\item Montrer que si $A$ et $B$ sont deux matrices réelles équivalentes de taille $n\times n$,
alors pour tout réel $a$ et toute ligne $C$ de taille $n$, il existe une ligne $D$ de taille $n$ telle que
$$\left[
\begin{array}{cc}
 a& C\\
0&A
\end{array}
\right] \qquad  \mbox{ et } \qquad
\left[
\begin{array}{cc}
 a& D\\
0&B
\end{array}
\right]$$
sont équivalentes.
\item On dit qu'une matrice carr\'ee est de type impair si ses coefficients sont des entiers relatifs,
tels que ceux de la diagonale sont impairs tandis que les autres sont pairs. \\
Montrer par r\'ecurrence la propriété suivante.
Toute matrice carr\'ee de type impair est équivalente à une matrice dont la diagonale est formée d'entiers
impairs et
dont les coefficients situés sous la diagonale sont nuls. \\
En d\'eduire que les matrices de type impair sont inversibles.
\item Revenons-en à nos moutons. On construit la matrice $B$ de taille $101 \times 101$ selon
\begin{numcases}{B_{ij} = }
\nonumber
1 & si $i=j$, \\
\nonumber
0 & si le mouton $j$ est dans le groupe $A_i$, \\
\nonumber
2 & si le mouton $j$ est dans le groupe $B_i$.
\end{numcases}
On note par ailleurs
\[
X = \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_{101} \end{array} \right]
\qquad \mbox{et} \qquad
\underline{1} = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{array} \right]~,
\]
qui sont respectivement
le vecteur des poids des moutons et le vecteur composé de 101 éléments 1. \\
Calculer $B\,X$, puis $B\,\underline{1}$, et expliquer alors pourquoi tous les $x_j$ sont égaux.
\end{enumerate}

\nnewpage

\noindent{\bf Exercice 1.} \\
Soit $x$ un r\'eel fix\'e. On pose, pour $n \geq 1$,
 $$u_n(x)= x^2\,(1-x^2)^{n-1}~.$$
\begin{enumerate}
\item Etudier la convergence de la s\'erie de terme g\'en\'eral $u_n(x)$ en fonction de $x$.
\item Calculer, quand la s\'erie converge,
\[
S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)~.
\]
\item Quelle est la limite de $S(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$ en étant différent de $0$~?
\item  Soit $\sqrt{2}>\epsilon>0$. Montrer que le maximum
$U_n$ de $| u_n |$ sur $\bigl[ -\sqrt{2}+\epsilon,\,\sqrt{2}-\epsilon \bigr]$ existe,
et que la s\'erie $\displaystyle \Sigma_{n\geq 1} \,\, U_n$ diverge.
\end{enumerate}

\ \\

\noindent{\bf Exercice 2.} \\
On considère deux urnes, celle de gauche contient au début du jeu (tour $t = 0$) deux boules blanches et celle
de droite, deux boules noires. On répète le protocole suivant~: à chaque tour $t = 1,\,2,\,\ldots$,
on part de la configuration du tour $t-1$, on choisit au hasard une boule dans chaque urne et
on les échange. On note $X_t$ le nombre de boules blanches dans l'urne de gauche.
\begin{enumerate}
\item Déterminer $X_0$ et $X_1$. Quelles sont les valeurs possibles pour $X_t$ lorsque $t \geq 2$~?
\item Déterminer, pour $i = 0,\,1,\,2$ et $k \geq 0$ tels que $\P \{ X_k = i \} > 0$, la valeur de
$\P \{ X_{k+1} = j \, | \, X_k = i \}$, pour $j = 0,\,1,\,2$.
\item Pour $k \geq 0$, on note $z_k$ le vecteur
\[
z_k = \left[ \begin{array}{c} \P \{ X_k = 0 \} \\ \P \{ X_k = 1 \} \\ \P \{ X_k = 2 \}
\end{array} \right]~.
\]
Exhiber une matrice $M$ telle que $z_{k+1} = M\,z_k$ pour tout $k \geq 0$.
\item Calculer les valeurs propres de $M$.
\item En déduire que toutes les composantes de $z_k$ convergent lorsque $k \to \infty$~;
déterminer le vecteur limite ainsi obtenu en prouvant au préalable que ses composantes sont de somme 1.
\end{enumerate}

\nnewpage
\vspace{-.25cm}

\noindent{\bf Exercice 1.} \\
Soit $p$ un entier positif. On rappelle que par convention, $0^0 = 1$.
\begin{enumerate}
\item Pour tout $0\leq x\leq 1$, montrer que
$\displaystyle \frac{1}{2+x}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n \, x^n}{2^{n+1}}~.$
\item Montrer la convergence de la s\'erie de terme g\'en\'eral $(u_n)$ donné par
$$u_n=(-1)^n \, \frac{1}{2^n(n+p+1)}~.$$
\item Pour tout entier $N$, on pose alors $s_N=u_0+...+u_N$ et
$S$ la somme de la s\'erie. \\
Montrer que pour tout $N \geq 0$, il existe $R_N$ tel que
 $$\int_0^1 \frac{x^p}{2+x} \d x = \frac{s_N}{2}+R_N$$
avec $\displaystyle |R_N|\leq {2^{-(N+2)}}.$
\item Calculer $S$ dans le cas $p=2$. \\
\end{enumerate}
\vspace{.5cm}

\noindent{\bf Exercice 2.} \\
On suppose que la taille d'un arbre varie d'ann\'ee en ann\'ee en fonction du taux d'ensoleil\-le\-ment~:
si $X_1, \, X_2, \, \ldots$
sont les dits taux d'ensoleillement, suppos\'es strictement positifs, ind\'ependants et identiquement distribu\'es,
et si $Z_0$ est la taille initiale ($Z_0 > 0$), alors la taille \`a la fin de l'ann\'ee $k+1$ est donn\'ee en fonction de la taille de l'ann\'ee $k$ et du taux d'ensoleillement durant l'ann\'ee $k+1$ par la formule suivante,
$$Z_{k+1}=Z_k+X_{k+1}Z_k~,$$
pour tout $k = 0,\,1,\,\ldots$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que
\[
\sum_{k=1}^n X_k \geq \ln \frac{Z_n}{Z_0}~.
\]
\item On suppose que les $X_k$ ont une moyenne $m>0$. Montrer que pour tout $\varepsilon > 0$,
$$\P\left(\left(\frac{Z_n}{Z_0}\right)^{1/n}\geq e^m+\varepsilon\right) \,\, \underset{n\to\infty}{\longrightarrow}
\,\, 0~.$$
\item On suppose que les $X_k$ sont de variance $1$. Enoncer le th\'eor\`eme de la limite centrale
pour $S_n = \sum_{k=1}^n X_k$.
\item En d\'eduire un minorant approch\'e $\widehat{m}$ du taux d'ensoleillement moyen $m$, qui ne d\'epende
que de $Z_n$ et $Z_0$ et tel que pour $n$ assez grand,
$\P(\widehat{m}\leq m)$ soit supérieur à environ $95\,\%$. \\
On rappelle  que si $U$ suit une loi normale centr\'ee r\'eduite, alors
$\P (U > 1.65) \leq 5\%$.
\end{enumerate}

\nnewpage

\noindent{\bf Exercice 1.} \\
Soit  $I$ un intervalle de $\R$ et $\varphi$ et $\psi$ deux fonctions croissantes
de $I$ dans $\R$.
\begin{enumerate}
\item On définit $h$ sur $I \times I$ par
\[
h(x,y) = \bigl( \varphi(x) - \varphi(y) \bigr) \, \bigl( \psi(x) - \psi(y) \bigr)~.
\]
Que peut-on dire du signe de $h$~?
\item En déduire que si $X$ est une variable aléatoire discr\`ete à valeurs dans $I$ telle que
$\varphi(X)$, $\psi(X)$ et $\varphi(X)\psi(X)$ admettent une espérance, alors
\[
\E \bigl[ \varphi(X) \bigr] \, \E \bigl[ \psi(X) \bigr] \leq \E \bigl[ \varphi(X) \psi(X) \bigr]~.
\]
\item Dans cette question et la suivante, $I = \,\, ]0,+\infty[$. Montrer que lorsque $X$ et $1/X$
admettent une espérance, alors
\[
\frac{1}{\E [ X ]} \leq \E \left[ \frac{1}{X} \right]~.
\]
\item Montrer que l'inégalité de la question
(3) est une égalité si et seulement si $X$ est constante.
\end{enumerate}

\ \\

\noindent{\bf Exercice 2.} \\
Soient $n$ un entier non nul et $a$, $b$, $u$ trois nombres complexes avec $a \ne b $ et $u \ne 0$.
Le but de cet exercice est de chercher les nombres complexes $z$ tels que
$$(z-a)^n=u\,(z-b)^n~.$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'\'equation est \'equivalente \`a chercher $v$ tel que $v^n=u$ et $z$ tel que
\[
\frac{z-a}{z-b}=v~.
\]
\item En déduire toutes les solutions lorsque $a=j$, $b=j^2$, $u=1$ et $n=6$. (On rappelle que $j$ est le nombre complexe de partie imaginaire strictement positive tel que $j^3=1$.)
\item V\'erifier le r\'esultat de la question précédente en d\'eveloppant les deux polyn\^omes initiaux.
\item On étudie maintenant le cas de $a$, $b$, $u$ trois nombres complexes tels que $|u| = 1$ et $a$ et $b$ sont conjugués~: montrer
 alors que toutes les racines de l'équation considérée sont réelles. (On pourra remarquer que l'ensemble des racines
 est inclus dans une droite à préciser.)
\end{enumerate}

\nnewpage

\noindent{\bf Exercice 1.} \\
Soit $X$ une variable aléatoire de loi logistique, c'est-à-dire de densit\'e sur $\R$
donnée par
$$f(x)=\frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}~.$$
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $f$ est bien une densit\'e.
\item Montrer que
$$Y=\frac{1}{1+e^{-X}}$$
suit une loi uniforme sur $[0,1]$.
\end{enumerate}

\ \\

\noindent{\bf Exercice 2.} \\
On se place dans l'espace vectoriel des matrices $2 \times 2$ à coefficients complexes,
noté $\cM_2(\mathbb{C})$.
On en considère les éléments
\[
I= \left[ \begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 1
\end{array}
\right]~,
\qquad
\sigma_x = \left[ \begin{array}{cc}
0 &1\\
1 &0
\end{array}
\right]~,
\qquad
\sigma_y = \left[ \begin{array}{cc}
0 & -i\\
i & 0
\end{array}
\right]~,
\qquad
\sigma_z = \left[ \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}
\right]~.
\]
Dans tout ce qui suit, $\overline{a}$ d\'esigne le conjugu\'e du nombre complexe $a$, et $|a|$ son module.
\begin{enumerate}
\item Donner les valeurs propres de $ \sigma_x, \, \sigma_y, \, \sigma_z$. (Cette question ne sert plus dans la suite.)
\item Montrer que $(I,\,\sigma_x,\,\sigma_y,\,\sigma_z)$ est une base de $\cM_2(\mathbb{C})$.
\item On note $\Tr : \cM_2(\C) \to \C$ l'application trace~: pour
$M = \bigr[ m_{i,j} \bigr] \in \cM_2(\C)$, on pose
\[
\Tr(M) = m_{1,1} + m_{2,2}~.
\]
Montrer que l'ensemble des matrices de trace égale à 1 est
$$\mathcal{E} = \left\{M=\frac12 \bigl(I+x\sigma_x+y\sigma_y+z\sigma_z\bigr), \ x,\,y,\,z\in\mathbb{C}\right\}~,$$
et que l'\'ecriture de tout élément $M$ en fonction de $(x,\,y,\,z)$ est unique.
\item Soit $\mathcal{A}$ le sous-ensemble de $\cM_2(\C)$ défini par
\[
\mathcal{A} = \left\{ M_{ab} = \left[
\begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right]\,\bigl[ \begin{array}{cc} \overline{a} & \overline{b} \end{array} \bigr]~: \ a,\,b \in \C \ \mbox{tels que} \
|a|^2+|b|^2=1 \right\}~.
\]
Montrer l'inclusion
\[
\mathcal{A} \subset \left\{ M = \frac12 \bigl(I+x\sigma_x+y\sigma_y+z\sigma_z\bigr)
\ \mbox{tels que} \ x^2+y^2+z^2 = 1 \ \mbox{et} \
x,\,y,\,z \mbox{ r\'eels} \right\}~.
\]
\item Montrer que les deux ensembles sont en fait \'egaux.
\end{enumerate}

\nnewpage

\noindent{\bf Exercice 1.} \\
Soit $f : [0,+\infty[ \,\, \to \, \R$ une fonction continue, dérivable, de dérivée $f'$ continue, vérifiant en outre
que \[
f(0) = 0 \qquad \mbox{et} \qquad  0 \leq f'(x) \leq 1 \ \ \mbox{pour tout } x \geq 0.
\]
Pour $x \geq 0$, on pose
\[
g(x) = \left( \int_0^x f(t) \d t \right)^2 - \int_0^x f^3(t) \,d t~.
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que $g$ est dérivable et écrire sa dérivée sous la forme $g'(x) = f(x) \, h(x)$ pour une fonction
$h$ à préciser.
\item Montrer que $g$ est croissante.
\item On veut déterminer les applications $f$ telles que $g$ est la fonction nulle~: $g(x) = 0$ pour tout $x \geq 0$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f(x) = 0$ pour tout $x \geq 0$ et $f(x) = x$ pour tout $x \geq 0$
conviennent toutes deux.
\item On fixe dans cette question et la suivante une fonction $f$ telle que $g = 0$. \\
Montrer qu'en un point $x_0 > 0$ tel que $f(x_0) > 0$, il existe un intervalle $I = [x_0 - \epsilon,\,x_0 + \epsilon]$
tel que $f'(x) = 1$ pour tout $x \in I$.
\item Tracer l'allure de $f$ et conclure que seules les applications considérées à la question (a) conviennent.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\ \\

\noindent{\bf Exercice 2.} \\
Pour un entier $N \geq 1$, on consid\`ere $N+1$ urnes opaques qui contiennent chacune $N$ boules~; l'urne num\'ero $k = 0,\,1,\,\ldots,\,N$
contient $k$ boules rouges et $N-k$ boules noires. Le joueur choisit une de ces urnes au hasard  et  y tire successivement $n$ boules, chaque
boule \'etant remise avant le tirage suivant. Le joueur ne sait pas la composition de l'urne dans laquelle il tire. On d\'esigne par $A_n$ l'\'ev\'enement ``les $n$ boules tir\'ees par le joueur sont rouges''.
\begin{enumerate}
\item Quelle est  la probabilit\'e de $A_n$ ?
\item Sachant que le joueur a tir\'e $n$ boules rouges et qu'il ne change pas d'urne pour effectuer
le $(n+1)$--ième tirage, quelle est la probabilité qu'il tire encore une boule rouge~?
\item Déterminer la limite quand $N \to +\infty$ des probabilités calculées aux deux questions précédentes.
\end{enumerate}

\nnewpage

\noindent{\bf Exercice 1.} \\
\begin{enumerate}
\item Que peut-on dire de la fonction $g$ définie par
\[
g : (x,y) \in \, ]0,1[^2 \ \mapsto \ g(x,y) = \frac{x}{1-x} \, \frac{y}{1-y}
\]
sur l'ensemble $\cX_2 = \bigl\{ (x,y) : x > 0, \,\, y > 0 \ \mbox{et} \ x+y=1 \bigr\}$~?
\item On veut calculer le maximum de la fonction
\[
h : (x,y,z) \in [0,1[^3 \ \mapsto \ h(x,y,z) = \frac{x}{1-x} \, \frac{y}{1-y} \, \frac{z}{1-z}
\]
sur l'ensemble
\[
\cX_3 = \bigl\{ (x,y,z) : \ 0 \leq x < 1, \ 0 \leq y < 1, \ 0 \leq z < 1 \ \mbox{et} \ x+y+z=1 \bigr\}~.
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que ce maximum est exactement le maximum de la fonction
\[
f : (a,\theta) \in \,\, ]0,1] \times [0,1/4] \ \mapsto \ f(a,\theta) = \frac{\theta \, a(1-a)}{1 - a + \theta a^2}~.
\]
On pourra poser $x+y = a$ et $x = t a$.
\item Montrer que le maximum $M_a$ de $\theta \in [0,1/4] \mapsto f(a,\theta)$ vaut $a(1-a)/(a-2)^2$.
\item Déterminer alors le maximum de $h$ sur $\cX_3$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\ \\

\noindent{\bf Exercice 2.} \\
Soit $n \geq 1$ un entier et $A \in \cM_n(\R)$ une matrice réelle de taille $n \times n$.
On note $I_n \in \cM_n(\R)$ la matrice identité de même taille, et on pose
\[
B = \left[
\begin{array}{cc}
0 & I_n \\
A & 0
\end{array}
\right] \in \cM_{2n}(\R)~.
\]
\begin{enumerate}
\item Calculer le rang de $B$ en fonction de celui de $A$~; en déduire une condition nécessaire et
suffisante pour que 0 soit valeur propre de $B$.
\item Déterminer les valeurs propres et sous-espaces propres de $B$ en fonction de celles et ceux de $A$.
\item Donner une condition nécessaire et suffisante de diagonalisabilité de $B$.
\end{enumerate}

\nnewpage

\noindent{\bf Exercice 1.} \\
On considère le jeu suivant~: un joueur lance un d\'e \`a six faces non
biais\'e. Si le r\'esultat est pair, le score $X$ du joueur est
ce qu'indique la face du d\'e. Si le r\'esultat est impair, le joueur doit appuyer sur un bouton
et un ordinateur tire
au hasard et de mani\`ere uniforme un nombre entre 0 et 1, qui forme le score $X$ du joueur.
\begin{enumerate}
\item Donner l'espace d'\'etats de la variable aléatoire $X$.
\item Préciser la fonction de r\'epartition de $X$ et la tracer.
\item Calculer l'espérance et la variance de $X$.
\end{enumerate}

\ \\

\noindent{\bf Exercice 2.}
\begin{enumerate}
\item Soient $a_1,\,a_2,\,b_1,\,b_2$ des r\'eels fix\'es. Montrer que le syst\`eme d'inconnues $x,\,y$
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
a_1\,x+a_2\,y&=&0\\
b_1\,x+b_2\,y&=&0
\end{array}
\right.
$$
admet une solution une unique solution $x=0$ et $y=0$
si et seulement si
\[
a_1\,b_2-b_1\,a_2 \ne 0~.
\]
\end{enumerate}
On fixe désormais quatre réels
$a,\,b,\,c,\,d$
et on note $A$ et $I_2$ les matrices
$$
A = \left[
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}
\right] \qquad \mbox{et} \qquad
I_2 = \left[
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}
\right]~.
$$
\begin{enumerate}
\item[(2)] Montrer qu'il existe des nombres $\alpha$ et $\beta$, que l'on calculera, tels que
$$A^2-\alpha\,A-\beta\, I_2=0~.$$
\item[(3)] Dans quel cas $\alpha$ et $\beta$ sont-ils uniques ? \\
On se place dans ce cas pour le restant de l'exercice.
\item[(4)] Soit
$$\mathcal{M} = \,\, \bigr\{ M_{x,y} = x\,I+y\,A, \ x,\,y\in \R \bigr\}~.$$
Montrer que si $M_{x,y}\in \mathcal{M}$ est inversible, alors son inverse appartient à $\mathcal{M}$.
\item[(5)] A quelle condition sur $A$ tous les \'el\'ements de $\mathcal{M}$ non nuls sont-ils inversibles ?
\end{enumerate}

\nnewpage

\warning

\noindent{\bf Exercice 1.} \\
Soit $f$ la fonction d\'efinie, pour $x$ réel, par
\begin{numcases}{f(x) =}
\nonumber
0 & si $x < -1$, \\
\nonumber
x+1 & si $-1\leq x\leq 0$, \\
\nonumber
-x+1 & si $0 < x\leq 1$, \\
\nonumber
0 & si $x > 1$.
\end{numcases}
\begin{enumerate}
\item V\'erifier que $f$ est une densit\'e.
\item Calculer la moyenne et la variance d'une variable aléatoire $X$ de densit\'e $f$.
\item Montrer que pour tout $\varepsilon>0$,
\[
\P \bigl( |X|>\varepsilon \bigr) \leq \frac{1}{6\varepsilon^2}~.
\]
\end{enumerate}

\ \\

\noindent{\bf Exercice 2.} \\
Soit $H$ le $\R$--espace vectoriel des fonctions de deux variables $(x,\,y)$ d\'erivables deux fois et
\`a d\'eriv\'ees secondes continues sur $\R^2$.
\begin{enumerate}
\item Rappeler la forme g\'en\'erale de toutes les fonctions $g$ de $H$ telles que, pour tout $(x,\,y)$,
\[
\frac{\partial g}{\partial x} = 0~.
\]
\item Soit $a$ et $b$ deux r\'eels fix\'es. On regarde maintenant les applications $\varphi_1$ et $\varphi_2$ qui
à tout $f$ de $H$ associent respectivement
$$\varphi_1(f)=\frac{\partial f}{\partial x}-a f \qquad \mbox{et} \qquad \varphi_2(f)=\frac{\partial f}{\partial y}-b f~.$$
V\'erifier que ces applications sont lin\'eaires et donner leur noyau. Sont-elles des endormorphismes~? \\
(On pourra par exemple justifier que l'on peut écrire toute fonction $f(x,y)$ sous la
forme $e^{ax}\,g(x,y)$.)
\item Déterminer $\Ker \varphi_1 \cap \Ker \varphi_2$.
\item On se donne maintenant des fonctions $A$ et $B$ de $H$ et on cherche les $f$ telles que
$$ \frac{\partial f}{\partial x}-a f=A \qquad \mbox{et} \qquad \frac{\partial f}{\partial y}-b f=B~.$$
Montrer que s'il existe une solution $f$ dans $H$, alors $\varphi_2(A)=\varphi_1(B)$.
\item On se restreint au cas où $a \ne 0$ et $b \ne 0$.
Supposons en outre que $A$ est une fonction de $x$ seulement et $B$ une fonction de $y$ seulement. Montrer que pour qu'une solution $f$ de $H$ existe pour le système précédent,
il faut que $A$ et $B$ soient des fonctions constantes bien choisies. Trouver alors l'ensemble des solutions. \\
(On pourra écrire $f(x,y) = e^{ax+by}\,g(x,y)$.)
\end{enumerate}

\nnewpage

\warning

\noindent{\bf Exercice 1.} \\
On veut déterminer les polynômes $P$ de la forme $X^3 + \alpha X^2 + \gamma$, où
$\alpha$ et $\gamma$ sont des réels,
tels que la quantité
\[
I_P = \int_{-1}^1 P^2(t) \d t
\]
soit minimale.
\begin{enumerate}
\item Calculer $I_P$ en fonction de $\alpha$ et $\gamma$.
\item Déterminer le minimum de
\[
\gamma^2 + \frac{2}{3} \alpha \gamma + \frac{1}{5} \alpha^2
\]
lorsque $(\alpha,\gamma)$ parcourt $\R^2$.
\item Répondre finalement à la question initiale~: quels sont les polynômes
$P$ de la forme considérée tels que $I_P$ soit minimale~?
\end{enumerate}

\ \\

\noindent{\bf Exercice 2.} \\
Paul et Quentin passent leurs vacances \`a jouer \`a la p\'etanque. A chaque
partie, Paul a une probabilit\'e $p$ de gagner (avec $p \ne 0, \, p \ne 1/2, \, p \ne 1$),
et Quentin, une probabilit\'e
$1 - p$. A la fin de la partie $n$, le joueur qui a perdu verse 1 euro \`a son
adversaire. Sa fortune au d\'ebut de la partie $n+1$ est donc celle qu'il avait au d\'ebut de la partie $n$ moins un euro. Chaque partie jou\'ee est totalement ind\'ependante des
autres. Paul poss\`ede $a$ pièces de un euro au départ, et Quentin, $b$ telles pièces (où $a$ et $b$
sont des entiers positifs ou nuls). On note $T = a + b$ le nombre de pièces en circulation.

On dit que Paul est ruin\'e lorsqu'il ne possède plus de pièces.
Par exemple, Paul est ruin\'e au premier coup exactement si $a = 0$~;
au deuxième coup si $a = 1$ et qu'il perd au premier coup.
Une fois qu'un des joueurs est ruin\'e, il le reste ind\'efiniment (on arrête de jouer).

\begin{enumerate}
\item On note $s_n$ la probabilit\'e que Paul soit ruin\'e avant le début de la
$(n+1)$--i\`eme partie. Montrer que $(s_n)$ converge. \\ On note $S(a)$ sa limite~:
montrer que $S(a)\leq 1$. Dans ce qui suit $S(a)$ correspond \`a la probabilit\'e que Paul soit ruin\'e un jour. \\
Donner $S(0)$ et $S(T)$.
\item Montrer que pour tout entier $1 \leq a \leq T-1$,
$$
S(a)=p\,S(a+1)+(1-p)\,S(a-1)~.
$$
\item Montrer que l'ensemble $\mathcal{F}$ des fonctions $f : \{0,\ldots,T\} \to \R$ telles que
pour tout entier $1 \leq a \leq T-1$,
$$
f(a)=p\,f(a+1)+(1-p)\,f(a-1)~,$$
est un $\R$--espace vectoriel de dimension finie, de base $(f_0,f_1)$,
où $f_0$ est la fonction constante $f_0 \equiv 1$ et $f_1(t) = ((1-p)/p)^t$.
\item En d\'eduire la valeur de $S(a)$ puis
montrer qu'un jour, ou Paul ou Quentin est ruiné.
\end{enumerate}

\nnewpage

\noindent{\bf Exercice 1.} \\
Soit $P$ un polynôme tel que pour tout $x \in [-1,1]$, on a $P(x) \geq 0$. On suppose en outre que
$P$ est de degré inférieur ou égal à 2. On souhaite montrer qu'il existe
$\alpha \geq 0$, $\beta \geq 0$ et $a \in [-1,1]$ tels que
\[
P = \alpha (X-a)^2 + \beta (1-X^2)~.
\]

\begin{enumerate}
\item Etablir la propriété dans le cas où $P(1) = P(-1) = 0$.
\item Montrer que l'application
\[
\varphi : t \in [-1,1] \ \mapsto \ \varphi(t) = \frac{t}{t^2+1}
\]
réalise une bijection de $[-1,1]$ sur $[-1/2,1/2]$. On note $\varphi^{-1}$ son inverse.
\item Choisir judicieusement $a \in [-1,1]$ et $\alpha \geq 0$ en fonction de $P(1)$ et
$P(-1)$ pour que $P - \alpha (X-a)^2$ s'annule en $-1$ et 1.
\item Conclure alors à la propriété recherchée.
\end{enumerate}

\ \\

\noindent{\bf Exercice 2.} \\
On fixe un entier $n \geq 2$ et on note
$E = \{ 1, \, \ldots, \, n \}$. On considère
$n$ variables $X_1,\,\ldots,\,X_n$ indépendantes et identiquement distribuées
selon la loi de Bernoulli symétrique~:
\[
\P \{ X_j = 0 \} = \P \{ X_j = 1 \} = 1/2~.
\]
On note $A$ l'ensemble aléatoire des $j$ tels que $X_j = 1$,
\[
A = \bigl\{ j \in E \, : \, X_j = 1 \bigr\}~.
\]
$A$ est donc un sous-ensemble aléatoire de $E$.
\begin{enumerate}
\item Combien de valeurs différentes $A$ peut-il prendre~?
\item On note $|A|$ le cardinal ({\em id est}, le nombre d'éléments) de $A$. Par exemple,
$|E| = n$ et $| \, \{ 2,\,3,\,5,\,8 \} \, | = 4$. \\
Déterminer, pour tout entier $k = 0,\,1,\,\ldots,\,n$, la probabilité $\P \{ |A| = k \}$.
\item Soit $B$ une variable aléatoire de même loi que $A$ et indépendante de $A$ (construite
par exemple sur des variables de Bernoulli $X_{n+1},\,\ldots,\,X_{2n}$). \\
Donner la loi de $|A \cap B|$ et en déduire $\E \, |A \cap B|$.
\item Calculer la probabilité que $A$ soit inclus dans $B$~: $\ \P \{ A \subset B \}$.
\end{enumerate}

\nnewpage

\noindent{\bf Exercice 1.} \\
On observe des virus qui se reproduisent selon une loi géométrique avant de mourir~:
un virus donne naissance en une journée à $X$ virus, où $X$ suit une loi géométrique sur $\mathbb{N}$
de paramètre $0 < p < 1$, puis meurt~: pour tout entier $k = 0, \, 1, \, 2, \, \ldots$,
\[
\P \, \{ X = k \} = p\,(1-p)^k~.
\]
\begin{enumerate}
\item Calculer, pour tout $r \in [0,1]$, la valeur
\[
f(r) = \E \Bigl[ r^X \Bigr]~.
\]
\item On part au jour zéro de $X_0 = 1$ virus. Au premier jour, on a donc $X_1$ virus, où $X_1$ suit la loi
géométrique de paramètre $p$~;
chacun de ces $X_1$ virus évolue alors indépendamment des autres virus et se reproduit selon cette même loi géométrique
avant de mourir~:
cela conduit à avoir $X_2$ virus au deuxième jour~; et le processus continue de la sorte. On note $u_n = \P\,\{ X_n = 0 \}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_0$, $u_1$ et $u_2$.
\item Montrer que $(u_n)$ est convergente.
\item Montrer que pour tout entier $n \geq 1$, on a $u_{n+1} = f(u_n)$.
\item Déterminer alors la limite de $(u_n)$ en fonction de $p$. Interpréter le résultat.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\ \\

\noindent{\bf Exercice 2.} \\
Soit $f$ une fonction d\'erivable sur $\R$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout r\'eel $x$, il existe un r\'eel $\theta$ de $]0,1[$ tel que
$$f(x)=f(0)+x\,f'(\theta x)~.$$
\item Supposons dor\'enavant $f$ deux fois d\'erivable et telle que $f''$ soit continue en~$0$ avec $f''(0)\not = 0$.
Montrer qu'il existe $\varepsilon>0$ tel que pour tout $x$ de $]-\varepsilon, \,0[ \, \cup \, ]0,\,\varepsilon[$, le réel
$\theta$ d\'efini par la question précédente est unique. \\
On le note donc dor\'enavant $\theta(x)$.
\item Trouver la limite quand $x$ tend vers $0$ de $\theta(x)$. \\
On note $\theta(0)$ cette limite.
\item Montrer que $x \mapsto \theta(x)$ est une fonction continue sur $]-\varepsilon, \varepsilon[$. \\
\end{enumerate}

\end{document} 