\documentclass[11pt,a4paper,oneside]{amsart}

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%%%%%%%%% Macros %%%%%%%%%

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\newtheorem{theorem}{Th\'eor\`eme}

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\newcounter{ctr}

\newcommand{\Nnewpage}{\addtocounter{ctr}{1} \newpage}
\newcommand{\nnewpage}{\newpage \Nnewpage}

\newcommand{\indic}[1]{\ \\ \noindent {\it Indication: #1}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\fancyhead[CO,CE]{\normalfont\small Planche \arabic{ctr}}
\fancyhead[LO,RE]{}
\fancyfoot[RO,LE]{}
\fancyhead[RO,LE]{}
\fancyfoot[CE,CO]{
\normalfont\small \hspace{-0.086cm}\'Epreuves orales de math\'ematiques 2012, concours d'entr\'ee \`a l'\'Ecole Normale Sup\'erieure, voie B/L
}

\begin{document}

\ \\
\vspace{2.5cm}

Vous traiterez les exercices suivants et les pr\'esenterez {tous deux}, dans l'ordre de votre choix.
Le temps de pr\'eparation est d'une heure~; l'interrogation durera une demi-heure environ.

Au d\'ebut de l'interrogation, vous disposerez de dix minutes au maximum pour pr\'esenter vos r\'esultats, sans intervention du jury. 
Vous \^etes encourag\'e \`a ne pas recopier l'int\'egralit\'e de vos calculs, mais plut\^ot \`a vous concentrer sur les points cruciaux de votre raisonnement. 
%
Le jury reviendra ensuite sur les questions qu'il souhaitera approfondir, y compris \'eventuellement celles que vous n'auriez pas eu le temps d'aborder pendant la pr\'eparation. Il vous donnera  le cas \'ech\'eant des indications.

\newpage
\setcounter{ctr}{1}
\thispagestyle{fancy}
\pagestyle{fancy}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%% Planche 1

Soit $f$ la fonction définie sur l'ensemble $]-1, 1[$ par les
relations $f(0)=0$ et, pour $x\neq 0$, 
\[f(x) = \frac{x}{\ln|x|}\cos\left(\frac{1}{x}\right)\;.\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est continue et dérivable en $0$.
\item A-t-on \[f'(x)\to_{x\to 0}f'(0) \;\;?\]
\item Montrer:
\[\forall a\in]0,1[, \forall M\in\R, \exists x\in]-a,a[: \quad f'(x)=M\;.\]
\end{enumerate}

\newpage

Soient $a,b,c$ trois nombres réels. On définit la suite $u_n$ par les
relations $u_1=a, u_2=b, u_3=c$ et, pour $n\geq 4$, 
\[u_{n} = \frac{u_{n-1}+u_{n-2}+u_{n-3}}{3}\;.\]
On pose \'egalement~:
\[A = \left(\begin{array}{ccc}
0& 1& 0\\
0& 0& 1\\
\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3}
\end{array}\right)\;.\]
\begin{enumerate}

\item Soit \[P = \left(\begin{array}{ccc} 1&-9&0\\ 1 & 3 & 3\sqrt{2}\\ 1 & 1& -2\sqrt{2} \end{array}\right)\;.\]
Calculer $P^{-1}AP$.
\item Soit 
\[B = \left(\begin{array}{cc} -\frac{1}{3}& -\frac{\sqrt{2}}{3} \\ \frac{\sqrt{2}}{3}  & -\frac{1}{3}\\ \end{array}\right)\;.\]
Montrer que tous les coefficients de la matrice $B^n$ tendent vers $0$ quand l'entier $n$ tend vers l'infini.
\item Que dire de $A^n$ quand $n$ tend vers l'infini~?
\item Montrer que la suite $u_n$ converge, et d\'eterminer sa limite.
\end{enumerate}

\nnewpage

%%% Planche 2

Soit $(p_n)_{n\geq 1}$ une suite \`a termes positifs; pour tout $n\geq 1$ on pose $Q_n = p_1+\dots+p_n$ et on suppose que
\begin{itemize}
 \item[(i)] $Q_n$ tend vers l'infini quand $n$ tend vers l'infini;
 \item[(ii)] $\frac{p_n}{Q_n}$ tend vers $0$ lorsque $n$ tend vers l'infini.
\end{itemize}
On pose alors pour tout $n\geq 1$:
\[R_n = \frac{p_1}{Q_1} + \dots + \frac{p_n}{Q_n}\;.\]
\begin{enumerate}
 \item Donner un exemple de suite $(p_n)_{n\geq 1}$ satisfaisant les hypoth\`eses requises, et pour laquelle vous connaissez un \'equivalent de $R_n$.
 \item Si $(u_n)_{n\geq 1}$ et $(v_n)_{n\geq 1}$ sont deux suites \`a termes positifs telles que $u_n\sim v_n$ quand $n$ tend vers l'infini, et si la s\'erie de terme g\'en\'eral $v_n$ diverge, montrer que 
\[\sum_{k=1}^n u_k \sim \sum_{k=1}^n v_k \]
quand $n$ tend vers l'infini.
 \item Montrer que $R_n \sim \ln\left(Q_n\right)$ quand $n$ tend vers l'infini.
\end{enumerate}

\newpage

Soient $X_1,\dots,X_n$ des variables ind\'ependantes de loi exponentielle
de param\`etre $\lambda>0$, c'est-\`a-dire de densit\'e
 \[f:x\mapsto \begin{cases} 0 &\hbox{ si } x < 0,  \\ \lambda \exp(-\lambda x) & \hbox{sinon.}\end{cases}\]
On pose $L_n = \min_{1\leq i\leq n} X_i$ et $U_n = \max_{1\leq i\leq n} X_i$.

\begin{enumerate}
\item Calculer la fonction de r\'epartition de $L_n$, puis celle de $U_n$.

\item Quelle est la loi de $Y_n = n \lambda L_n$~?

\item On pose $Z_n = \lambda U_n - \ln(n)$. Calculer la fonction de
r\'epartition $F_n$ de $Z_n$, puis trouver la limite de $F_n(x)$ pour tout r\'eel $x$ quand $n$ tend vers l'infini.
\end{enumerate}

On dispose de $n$ ampoules identiques, dont on mod\'elise les dur\'ees de vie par des variables
exponentielles ind\'ependantes.

\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}
\item On suppose que l'on sait seulement combien de temps a fonctionn\'e l'ampoule qui a claqu\'e le plus tôt.  
\`A partir de cette seule information, proposer un estimateur pour la dur\'ee de vie moyenne des ampoules.
Cet estimateur est-il sans biais~?

\item On suppose maintenant que l'on sait seulement combien de temps a fonctionn\'e l'ampoule qui a claqu\'e le plus tard.  
\`A partir de cette seule information, proposer un estimateur pour la dur\'ee de vie moyenne des ampoules.
\end{enumerate}

\nnewpage

%%% Planche 3

\noindent Soit $n$ un entier sup\'erieur ou \'egal \`a 2. 
On consid\`ere une file d'attente avec un guichet et $n$ clients qui attendent. 
Chaque minute, un guichet se lib\`ere. 
Le guichetier choisit alors le client qu'il appelle selon le processus al\'eatoire suivant: 
\begin{itemize}
\item avec probabilit\'e $1/2$, il appelle le client en premi\`ere position dans la file, 
\item sinon, il choisit de mani\`ere \'equiprobable parmi les clients aux positions $2, \ldots, n$. 
\end{itemize}
Enfin, un nouveau client arrive dans la file et se place en derni\`ere position (de telle sorte qu'il y a toujours exactement $n$ clients qui attendent). 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la loi du temps d'attente pour un client qui se trouve en premi\`ere position dans la file? 
Donner son esp\'erance, sa variance. 
\item Pour tout $k \in \set{1, \ldots, n}$, on note $T_{k,n}$ le temps d'attente d'un client qui se trouve en position $k$ dans la file. Montrer que $T_{k,n}$ admet une esp\'erance et une variance finies. 
\item \'Ecrire une relation entre $\E[T_{k,n}]$ et $\E[T_{k-1,n}]$ pour tout $k \geq 2$. En d\'eduire une expression de $\E[T_{k,n}]$ en fonction de $k$ et $n$. \indic{On pourra montrer que la suite $(u_k)_{1 \leq k \leq n}$ d\'efinie par 
\[ u_k =  \frac{n+k-2}{2(n-1)} \, \E[T_{k,n}] \] est une suite arithm\'etique.}
\item Comparer les caract\'eristiques de cette file d'attente et d'une file d'attente ``classique'' (premier arriv\'e, premier servi).
\end{enumerate}

\newpage

Pour tout entier $n$, on note $n! = 1\times\dots\times n$, et on pose $0!=1$.
Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ une suite telle que, pour tout $n\geq 0$,
$u_n\in\{-1, +1\}$.
On pose \[\ell = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{u_n}{n!}\;.\]

\begin{enumerate}
\item Donner la valeur de $\ell$ quand $u_n = 1$, puis quand $u_n=(-1)^n$.
\item Pour tout entier $q$ strictement positif, montrer que
\[\sum_{n=q+1}^\infty \frac{q!}{n!} < \frac{1}{q}\;.\]
\item Pour tout entier $q$ strictement positif, montrer que \[\sum_{n=q+2}^\infty \frac{q!}{n!} < \frac{1}{q(q+1)}\;,\]
\item En d\'eduire que $\ell$ n'est pas un nombre rationnel, c'est-\`a-dire
ne peut pas s'\'ecrire comme quotient $p/q$ de deux entiers $p$ et $q$.
\end{enumerate}

\nnewpage

%%% Planche 4

\noindent On dit qu'une variable al\'eatoire \`a densit\'e suit une loi de Cauchy de param\`etre $x_0 \in \R$ lorsqu'elle admet pour densit\'e la fonction d\'efinie par 
\[ \forall x \in \R \, , \quad f(x) = \frac{1}{\pi \paren{ 1 + \paren{x-x_0}^2 }} \enspace . \]
Dans tout l'exercice, $X$ d\'esigne une variable al\'eatoire suivant une telle loi de Cauchy. 
\begin{enumerate}
\item Justifier le fait que $f$ est bien une densit\'e, et calculer la fonction de r\'epartition de $X$. 
Tracer sur un m\^eme graphe la densit\'e et la fonction de r\'epartition de $X$ (en prenant $x_0=1$). 
\item Pour tout $R>0$, calculer \[ \int_{-R}^R x f(x) dx \] puis sa limite lorsque $R$ tend vers l'infini. \\
La variable $X$ admet-elle une esp\'erance? une variance? Lorsque c'est possible, donner leur valeur. 
\item On rappelle d'une m\'ediane $m$ de $X$ est un r\'eel v\'erifiant $\P(X \leq m) = \P(X \geq m)=1/2$. 
D\'eterminer l'ensemble des m\'edianes de $X$. 
\item Soient $X_1, \ldots, X_n$ des variables al\'eatoires ind\'ependantes de loi de Cauchy de param\`etre $x_0$. On note $\widehat{m}_n$ une m\'ediane de $\set{X_1, \ldots, X_n}$, c'est-\`a-dire un r\'eel satisfaisant 
\[ \card \set{ i \in \set{1, \ldots, n} \, / \, X_i \leq  \widehat{m}_n } = \card \set{ i \in \set{1, \ldots, n} \, / \, X_i \geq  \widehat{m}_n } \enspace . \]
Montrer que $\widehat{m}_n$ converge lorsque $n$ tend vers l'infini, et pr\'eciser sa limite. 
\end{enumerate}

\newpage

On appelle $\mathcal{E}$ l'ensemble de tous les polynômes $P$ \`a coefficients r\'eels tels que :
\[\forall x\in\R, \;P\left(x^2\right) = P(x) P(x-1)\;.\]

\begin{enumerate}
\item Trouver tous les polynômes  $P\in \mathcal{E}$ de degr\'e au plus $2$.
\item Soit $P\in \mathcal{E}$, et soit $Z_P = \{z\in\C : P(z)=0\}$. On d\'efinit les applications $f$ et $g$ sur $\C$ par les relations :
\[f(z) = z^2,\quad g(z) = (z+1)^2\;.\]
Montrer :
\[\forall z\in Z_P, \quad \big\{f(z),\, g(z)\big\} \subset Z_P\;.\] 
\item En d\'eduire que tout \'el\'ement $z$ de $Z_P$ est de module $1$, puis que 
\[Z_P \subset \left\{e^{-\frac{2i\pi}{3}}, e^{\frac{2i\pi}{3}}\right\}\;.\]
\item Conclure.
\end{enumerate}

\nnewpage

%%% Planche 5

Soit $a$ un r\'eel strictement sup\'erieur \`a $1$.
On d\'efinit la suite $u_n$ par r\'ecurrence de la façon suivante :
$u_1=1$ et pour tout $n\geq 2, u_{n+1}=a^{u_n}$.
\begin{enumerate}
\item Faire l'\'etude sur $\R^+$ de la fonction $f: x\mapsto a^x-x$,  et tracer grossi\`erement son graphe.
\item Dans cette question seulement, on prend $a=\sqrt{2}$. Etudier la
convergence de la suite $(u_n)_n$.
\item D\'eterminer l'ensemble des valeurs de $a>1$ pour lesquelles la
suite $(u_n)_n$ converge.
\end{enumerate}

\newpage

Une urne contient des boules num\'{e}rot\'{e}es de $1$ \`{a} $n.$ On
effectue des tirages sans remise tant que les num\'{e}ros obtenus forment
une suite strictement croissante.

\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer la loi de la variable al\'{e}atoire $X$ repr\'{e}sentant le nombre de tirages effectu\'{e}s.

\item Montrer que $E\left[ X\right] =\sum_{k=1}^{n} \P\left( X\geq k\right) .$

\item D\'{e}terminer $E[X]$, et sa limite quand $n$ tend vers l'infini.

\item Reprendre les questions pr\'ec\'edentes, en supposant cette fois que les boules sont tir\'ees \emph{avec} remise. Comparer les deux r\'esultats.
\end{enumerate}

\nnewpage

%%% Planche 6

\noindent Soient $X$ et $Y$ deux variables al\'eatoires ind\'ependantes,  $S=X+Y$ et $P=XY$. 
On suppose que $X < 0 < Y$, et l'on suppose que $S$ et $P$ admettent une variance. 
\begin{enumerate}
\item Exprimer $X$ et $Y$ en fonction de $S$ et $P$. 
\item D\'eterminer, si c'est possible, $\E\croch{X}$ et $\E\croch{Y}$, en fonction des esp\'erances de $S$ et $P$. 
\item D\'eterminer, si c'est possible, $\E\croch{X^2}$ et $\E\croch{Y^2}$, en fonction des esp\'erances et variances de $S$ et $P$.
\item On suppose que $X$ et $Y$ ne prennent que des valeurs enti\`eres, avec $\P(X=-1)>0$ et $\P(Y=1)>0$. 
Est-il possible d'avoir $S$ et $P$ ind\'ependantes? Si oui, quelles lois sont possibles pour $X$ et $Y\,$?
\end{enumerate}

\newpage

On consid\`ere la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ d\'efinie par les relations $u_0=1/2$ et
\[\forall n\geq 0, \quad u_{n+1} = \frac{1+u_n^2}{2}\;.\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ converge, et d\'eterminer sa limite.
\item Pour tout $n\geq 0$, on pose $v_n = 1/(1-u_n)$. Montrer que
$v_n$ est bien d\'efini pour tout $n$, puis montrer que pour tout $n\geq 1$~:
\[v_n = v_0 + \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{1+u_k}\;.\]
\item En d\'eduire que
\[u_n = 1 - \frac{2}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right)\;.\]
\item Montrer que
\[u_n = 1 - \frac{2}{n} + \frac{2\ln(n)}{n^2} +
o\left(\frac{\ln(n)}{n^2}\right)\;.\]
\end{enumerate}

\nnewpage

\addtocounter{ctr}{1}

%%% Planche 8

Dans cet \'enonc\'e, si $A$ d\'esigne un ensemble de nombres entiers et si $(u_n)_{n\in\N}$ est une suite r\'eelle, on \'ecrit
\[\sum_{k\in A, k\leq n} u_k = \sum_{k=1}^n  u_k\1\{k\in A\}\;.\]

On dit que l'entier naturel $a$ divise l'entier naturel $b$ s'il
existe un entier $c$ tel que $b=ac$~: on note alors $a|b$.
On note 
\[ P = \big\{k \in\N^*  : \forall c\in\N^*, \; c|k \implies c\in\{1,k\} \big\}\]
 l'ensemble des nombres premiers, 
\[C  = \left\{k^2 : k\in\N^*\right\}\]
l'ensemble des nombres entiers qui sont des carr\'es, et
\[F=\left\{k\in\N^* : \forall c\in\N^*, \; c^2|k\implies c=1\right\}\] l'ensemble des
entiers naturels sans facteur carr\'e.
\begin{enumerate}
\item Pour $E\in\{P, C, F\}$, que vaut $E\cap\{1,\dots, 10\}$~?
\item La suite de terme g\'en\'eral \[u_n=\sum_{k\in C, k\leq n} \frac{1}{k}\] est-elle
convergente~?
\item Montrer que pour tout entier $n$ strictement positif~:
\[\left(\sum_{k\in C, k\leq n} \frac{1}{k}\right)\left(\sum_{k\in F,
k\leq n} \frac{1}{k}\right) \geq \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\;.\]
\item Montrer que pour tout entier $n$ strictement positif~:
\[\exp\left(\sum_{k\in P, k\leq n} \frac{1}{k}\right)
\geq \prod_{k\in P, k\leq n}
\left(1+\frac{1}{k}\right) \geq \sum_{k\in F, k\leq n}
\frac{1}{k}\;.\]
\item La suite de terme g\'en\'eral 
\[v_n = \sum_{k\in P, k\leq n} \frac{1}{k}\]
est-elle convergente~?
\end{enumerate}

\newpage

Soit $X = (Y,Z)$ un vecteur al\'eatoire discret \`a valeurs dans $\{0,1\}^2$, de loi:
\begin{align*}
P(Y = 1;Z = 1) = r & \qquad P(Y = 0;Z = 1) = p - r\\
P(Y = 1;Z = 0) = p - r & \qquad P(Y = 0;Z = 0) = 1 - 2p + r
\end{align*}
où $0 < r < p$ et $0 < 1 - 2p + r$.
On consid\`ere une suite de variables ind\'ependantes $X_i = (Y_i;Z_i)$ de m\^eme loi que $X$. On pose 
$U =\sum_{i=1}^n Y_i$ et $V =\sum_{i=1}^n Z_i$.
\begin{enumerate}
\item Quelles sont les lois des variables $U$ et $V$ ?
\item Calculer la covariance de $Y_1$ et $Z_1$. Pour quelle valeur de $r$ cette covariance est-elle nulle? Les variables $Y_1$ et $Z_1$ sont-elles ind\'ependantes?
\item D\'eduire de la question pr\'ec\'edente la covariance de $U$ et $V$.
\end{enumerate}

\nnewpage

%%% Planche 9

On dit qu'une suite $(x_n)_{n \geq 1}$ de nombres r\'eels \emph{converge au sens
de C\'esaro} vers $r$ si
\[\lim_{n\to\infty} \frac{x_1+\dots+x_n}{n} = r\;.\]
On dit qu'une fonction $f:\R\to\R$ est \emph{continue au sens de
C\'esaro} en $r\in\R$ si, pour toute suite $(x_n)_{n \geq 1}$ convergeant vers
$r$ au sens de C\'esaro, la suite $\big(f(x_n)\big)_{n \geq 1}$ converge vers
$f(r)$ au sens de C\'esaro.
\begin{enumerate}
\item Soient $a$ et $b$ deux r\'eels quelconques. Montrer que la suite
\[-a,-b,(a+b),-a,-b,(a+b),\dots\]
converge au sens de C\'esaro vers $0$.
\item Montrer que si $f$ est continue en $0$ au sens de C\'esaro, et si
$f(0)=0$, alors
\[f(a+b) = f(a)+f(b)\]
pour tous r\'eels $a$ et $b$.
\item Montrer que si $f$ est continue en $0$ au sens de C\'esaro, alors
$f$ est continue (au sens usuel) en $0$.
On pourra pour cela montrer que si  $(x_n)_{n \geq 1}$ est une suite
quelconque, il existe une suite $(y_n)_{n \geq 1}$ telle que pour tout $n$,
$(y_1+\dots+y_n)/n=x_n$.
\item D\'eduire des questions pr\'ec\'edentes que les seules fonctions
continues en un point au sens de C\'esaro sont les fonctions affines.
\end{enumerate}

\newpage

Soit $X$ une variable al\'eatoire positive dont la densit\'e $f$ est (continue et) strictement positive sur $\R^+$.
On note $\mu$ son esp\'erance (suppos\'ee finie) et $m$ sa m\'ediane.
\begin{enumerate}
 \item Montrer qu'il existe un unique r\'eel $\ell$ tel que 
 \[\int_{0}^{\ell} x f(x) dx = \int_{\ell}^{+\infty} xf(x) dx.\]
Ce r\'eel $\ell$ est appel\'e la \emph{m\'ediale} de $X$.
 \item Montrer que $m < \ell$.
 \item Dans cette question seulement, on suppose que $X$ suit une loi exponentielle de param\`etre $\lambda$. Dans quel
   ordre se classent $\mu, m$ et $\ell\,$?
\end{enumerate}

\nnewpage

%%% Planche 10

Un \emph{bit} est un symbole informatique \'el\'ementaire valant soit $0$, soit $1$. Un canal de transmission transmet des bits avec erreur selon le mod\`ele suivant~: il transmet fid\`element un bit avec probabilit\'e $p$
  et de façon erron\'ee avec probabilit\'e $(1-p)$ où $0<p<1$. Un bit traverse $n$
  canaux de ce type successivement, et on suppose que chaque canal fonctionne
  ind\'ependamment des autres canaux. On note $X_0$ le bit \'emis \`a l'entr\'ee du premier canal, et $X_k$ le bit reçu en sortie du  $k$-i\`eme canal (pour tout entier $k$ compris entre $1$ et $n$).
\begin{enumerate}
\item Calculer les probabilit\'es $\P(X_k=1 \vert X_{k-1} =1)$ et $\P(X_k = 1
  \vert X_{k-1} =0)$.
\item On note $\pi_n$ le vecteur de coordonn\'ees $[ \P(X_n=0), \; \P(X_n= 1)]$. Pr\'eciser la relation qui relie $\pi_n$ \`a
  $\pi_{n-1}$. 
\item En d\'eduire l'expression de $\pi_n$ en fonction de $\pi_0$, $n$ et $p$.
\item Quelle est la probabilit\'e que l'information \'emise \`a l'entr\'ee du premier
  canal, soit fid\`element transmise par le canal $n$? Que devient cette quantit\'e
  quand $n$ tend vers l'infini~?
\end{enumerate}

\newpage

\noindent Soit $a \in \,]0,1]$ et $f$ une fonction continue sur $[0,1]$ \`a valeurs r\'eelles. On d\'efinit 
\[ \overline{f}_{a} = \frac{1}{a} \int_0^a f(t) dt \] la moyenne de $f$ sur $[0,a]\,$, et pour tout $x \in \R\,$, 
\[ G_a(x) = \frac{1}{a} \int_0^a \paren{ f(t) - x}^2 dt \enspace . \]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que 
\[ \forall x \in \R \, , \quad G_a(x) = \paren{x - \overline{f}_{a}}^2 +  G_a\paren{ \overline{f}_{a} } \enspace . \]
La fonction $G_a$ admet-elle un minimum global unique?
\item Montrer que $\overline{f}_{a} \to f(0)$ lorsque $a \in \, ] 0,1]$ tend vers z\'ero. 
\end{enumerate}

\medskip

On suppose d\'esormais que $f$ est deux fois contin\^ument d\'erivable sur $[0,1]\,$, et l'on cherche \`a d\'eterminer un \'equivalent de 
\[ G_a \paren{ \overline{f}_{a} } = \frac{1}{a} \int_0^a \paren{ f(t) - \overline{f}_{a} }^2 dt \]
lorsque $a \in \, ] 0,1]$ tend vers z\'ero.

\medskip

\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{2}
\item Montrer que 
\[ \exists C>0 \, , \quad \forall a \in \, ] 0,1] \, , \quad \absj{ \overline{f}_a - f(0) } \leq C a  \]
Y a-t-il \'egalit\'e pour certaines fonctions $f\,$?
\item On admet le r\'esultat suivant (formule de Taylor-Lagrange): pour tout $u \in \, ] 0,1]\,$, il existe $h(u) \in \, ] 0 , u [$ tel que 
\[ f(u) = f(0) + u f^{\prime}(0) + \frac{u^2}{2} f^{\prime \prime}(h(u)) \enspace . \]
En d\'eduire un \'equivalent de 
\[ \overline{f}_a - f(0) \] lorsque $a \in \, ] 0,1]$ tend vers z\'ero. 
\item D\'eterminer un \'equivalent de  
$  G_a \paren{ f(0) } $ lorsque $a \in \, ] 0,1]$ tend vers z\'ero. Conclure.
\end{enumerate}

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%%% Planche 11

Dans cet exercice, on d\'esigne par $\mathcal{G}$ le $\R$-espace vectoriel form\'e par l'ensemble des fonctions de $\R$ dans $\R$ d\'erivables et de d\'eriv\'ee continue. On note $\# A$ le cardinal d'un ensemble~$A$.

Soit $n$ un entier strictement positif, et soient $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n$ des nombres r\'eels tels que $\lambda_1<\lambda_2<\dots<\lambda_n$.
\begin{enumerate}
 \item Montrer que
\[F = \left\{ x\mapsto e^{\lambda_i x} : i\in\{1,\dots,n\}\right\}\]
est une famille libre de $\mathcal{G}$.
\end{enumerate}
On note $\mathcal{F}$ le sous-espace vectoriel de $\mathcal{G}$ qu'engendre la famille $F$.
Pour tout \'el\'ement $f\in\mathcal{F}$ et pour tout r\'eel $\lambda$, on d\'efinit
\begin{align*} 
T_\lambda(f) &= \left( x\mapsto e^{\lambda x} \frac{d\left[e^{-\lambda x}f(x)\right]}{dx}\right)\;,\\
Z(f) &= \#\big\{ x\in\R : f(x) = 0\big\}\;.
\end{align*}
En outre, si $f\in\mathcal{F}$ est tel que, pour tout $x\in\R$, $f(x)=a_1 e^{\lambda_1 x} +  a_2 e^{\lambda_2 x} +\dots + a_n e^{\lambda_n x}$, on note
\[C(f) = \#\big\{ i\in{2,\dots,n} : a_{i-1}a_i < 0\big\}\;.\]
D'apr\`es la premi\`ere question, l'application $C$  est bien d\'efinie sur $\mathcal{F}$.
\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{1}
 \item Montrer que $\mathcal{F}$ est stable par $T_\lambda$ pour tout r\'eel $\lambda$.
 \item Soit $f\in\mathcal{F}$ tel que $f(x)= a_1 e^{\lambda_1 x} +  a_2 e^{\lambda_2 x} +\dots + a_n e^{\lambda_n x}$, et tel que $C(f)\neq 0$. Si $i\in\{2,\dots,n\}$  est tel que $a_{i-1}a_i<0$, montrer que pour tout r\'eel $\lambda$ de l'intervalle $]\lambda_{i-1}, \lambda_i[$ on a simultan\'ement :
\begin{align*}
& Z\big(T_\lambda(f)\big) \geq Z(f) - 1 \;\hbox{ et }\\
& C\big(T_\lambda(f)\big) = C(f) - 1 \;.
\end{align*}
 \item En d\'eduire que, pour tout \'el\'ement non nul $f$ de $\mathcal{F}$, on a 
\[Z(f) \leq  C(f)\;.\]
\end{enumerate}

\newpage

\noindent Soit $a , u_0 \in \R$ et $\varepsilon_0, \ldots, \varepsilon_n, ...$ une suite de variables al\'eatoires ind\'ependantes et de m\^eme loi. On suppose que pour tout entier $i$, 
\[ \E\croch{\varepsilon_i} = 0 \quad \mbox{et} \quad \E\croch{\varepsilon_i^2} = \sigma^2 > 0 \enspace . \]
On d\'efinit alors la suite $(u_n)_{n \in \N}$ par $u_0 \in \R$ et la relation de r\'ecurrence 
\[ u_{n+1} = a u_n + \varepsilon_n \enspace . \]

\begin{enumerate}
\item Calculer l'esp\'erance de $u_n$ pour tout entier $n \geq 0$. 
\item On suppose les $\varepsilon_i$ de loi normale. Quelle est la loi de $u_n$? 
\item On suppose $a=1$. Montrer que $u_n/n$ converge lorsque $n$ tend vers l'infini vers une limite $\ell \in \R$, puis d\'eterminer la loi limite de $(u_n - \ell) / \sqrt{n}$ lorsque $n$ tend vers l'infini. 
\item M\^eme question lorsque $a=-1$.
\end{enumerate}

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%%% Planche 12

Soit $f:[0,1]\to\R$ une fonction continue telle que $f(0)=f(1)$.
On dit qu'un r\'eel $c\in[0,1]$ est une \emph{corde} de $f$ s'il existe
un r\'eel $x\in[0,1-c]$ tel que $f(x+c) = f(x)$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $0, 1$ et $1/2$ sont des cordes de $f$.
\item Montrer que tous les nombres de l'ensemble $A = \{1/n :
n\in\N^*\}\cup\{0\}$ sont des cordes de $f$.
\item Soit $c\in[0,1]\setminus A$, et soit $g:[0,1]\to\R$ la fonction d\'efinie par
la relation~:
\[g(x) = x + \frac{\cos\left(\frac{2\pi
x}{c}\right)}{1-\cos\left(\frac{2\pi}{c}\right)}\;.\]
Montrer que $g$ est continue et telle que $g(0)=g(1)$. Le r\'eel $c$ est-il
une corde de~$g$~?
\end{enumerate}

\newpage

\noindent Soit $n \geq 1$ un entier et $X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n$ des variables al\'eatoires r\'eelles ind\'ependantes. 
On suppose pour tout $i$ compris entre $1$ et $n$, $X_i$ suit une loi uniforme sur $[0,\mu]\,$, pour un certain r\'eel $\mu >1 \,$, et $Y_i$ suit une loi uniforme sur $[0,1]\,$. 

Pour tout $i \in \set{1, \ldots, n} \,$, on observe
\[ Z_i = \min\set{ X_i \, , \, Y_i } \enspace , \]
et l'on souhaite en d\'eduire le param\`etre $\mu\,$. 
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer la fonction de r\'epartition de $Z_1\,$.
\item Calculer l'esp\'erance de $Z_1\,$. 
\item Proposer un estimateur de $\mu\,$. 
\item Calculer la variance de $Z_1\,$. 
\item Soit $\alpha \in \, ]0,1[\,$. Proposer un intervalle de confiance de probabilit\'e de couverture $1-\alpha$ pour $\mu\,$. 
\end{enumerate}

\nnewpage

%%% Planche 13

Soient $Y$ et $Z$ deux variables al\'eatoires ind\'ependantes \`a valeur dans l'ensemble
$\{0, \dots, 5\}$, soit $P_Y$ le polynôme d\'efini par la relation
$P_Y(t) = \E\left[t^Y\right]$, et soit $P_Z$ le polynôme d\'efini par la relation
$P_Z(t) = \E\left[t^Z\right]$.
\begin{enumerate}
\item Exprimer, pour tout $k\in\{0, \dots, 10\}$, $P(Y+Z=k)$ \`a l'aide
du polynôme produit $P_Y P_Z$.
\item Quelles sont les racines r\'eelles et complexes du polynôme $R(t) = 1+t+\dots+t^{10}$~?
\item La somme de deux d\'es \`a six faces, \'eventuellement pip\'es,
peut-elle avoir une loi uniforme ?
\item La somme de deux d\'es \`a six faces pip\'es peut-elle avoir la m\^eme
loi que la somme de deux d\'es \`a six faces \'equilibr\'es ?
\end{enumerate}

\newpage

\noindent D\'eterminer et repr\'esenter graphiquement l'ensemble 
\[ \set{ (x,g(x)) \, / \, x \in [0,1] \mbox{ et } g \in \mathcal{G} } \]
lorsque $\mathcal{G}$ est l'un des ensembles suivants:
\begin{enumerate}
\item $\mathcal{G} = \mathcal{G}_1  = \set{ g : [0,1] \mapsto [0,1] \mbox{ continue} }$. 
\item $\mathcal{G} = \mathcal{G}_2  = \set{ g \in \mathcal{G}_1 \, / \, g(0)=0 \mbox{ et } \forall x,y \in [0,1] \, , \, \absj{ g(x) - g(y) } \leq \absj{x-y} }$. 
\item $\mathcal{G} = \mathcal{G}_3  = \set{ g : [0,1] \mapsto [0,1] \mbox{ d\'erivable} \, / \, g(0)=0 \, , \, g(1) = \frac{1}{2} \mbox{ et } \forall x \in [0,1] \, , \, \absj{ g^{\prime}(x) } \leq 1 }$. 
\item $\mathcal{G} = \mathcal{G}_4  = \set{ g \in \mathcal{G}_1 \mbox{ deux fois d\'erivable} \, / \, g(0)=g^{\prime}(0)=0 \, , \, \absj{ g^{\prime\prime}(x) } \leq 1 }$. 
\item $\mathcal{G} = \mathcal{G}_5  = \set{ g \in \mathcal{G}_3 \mbox{ deux fois d\'erivable} \, / \, \absj{ g^{\prime\prime}(x) } \leq 1 }$. 
\end{enumerate}

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%%% Planche 14

Soit $n$ un entier strictement positif, et soit $\mathcal{D}\subset \mathcal{M}_n(\R)$ l'ensemble des matrices diagonales.
Soit $A \in \mathcal{D}$ une matrice dont les coefficients diagonaux sont distincts deux \`a deux.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\mathcal{D}$ est un espace vectoriel. Quelle est sa dimension~?
\item Montrer que la famille $\left(I_n, A, A^2,\dots, A^{n-1}\right)$ est une base de $\mathcal{D}$.
\item D\'eterminer $\big\{ B\in\mathcal{M}_n(\R) : AB = BA \big\}$.
\end{enumerate}

\newpage

\noindent Soit $\lambda >0$ et $X$ une variable al\'eatoire suivant une loi de Poisson de param\`etre $\lambda$. 
\begin{enumerate}
\item Calculer l'esp\'erance, puis la variance de $X$. 
\item Soit $k \geq 1$ un entier. Montrer que $\E\croch{X^k}$ est bien d\'efinie, et exprimer sa valeur en fonction de $(\E\croch{X^j})_{0 \leq j \leq k-1}$. 
\item En fonction de la valeur de $\lambda>0$, la suite d\'efinie par $u_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k \E\croch{X^k}$ converge-t-elle? 
\item Montrer que  \[ \E\croch{ \frac{1}{1+X} }  \] est bien d\'efinie et calculer sa valeur. 
\end{enumerate}

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%%% Planche 15

Soit $f:\R\to\R$ la fonction d\'efinie par les relations $f(0)=0$ et,
pour $x\neq 0$,
\[f(x)= x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right) + \frac{x}{4}\;.\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est d\'erivable sur $\R$ et que $f'(0)=1/4$.
\item Pour tout entier $k$ strictement positif, on d\'efinit
\[x_k = \frac{1}{\frac{\pi}{3} + k\pi} \qquad \hbox{et} \qquad y_k =
\frac{1}{-\frac{\pi}{3} + k\pi} \;.\]
Montrer qu'il existe $k_0\in\N$ tel que: $\forall k\geq k_0,  y_k\leq
1/16$, puis montrer~:
\[\forall k\geq k_0, \forall x\in]x_k, y_k[, \quad 
f'(x)\cos\left(\frac{1}{x}\right)<0\;.\]
\item Existe-t-il un r\'eel $\epsilon>0$ tel que la fonction $f$ soit
croissante sur l'intervalle $]-\epsilon, \epsilon[$~?
\end{enumerate}

\newpage

\noindent Pour tout entier $n \geq 1$, on note $\M_n(\R)$ l'ensemble des matrices carr\'ees d'ordre $n$ \`a coefficients r\'eels. 
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer l'ensemble des valeurs propres des matrices suivantes:
\[ A_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \qquad 
A_2 = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \qquad 
A_3 = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \]
Sont-elles diagonalisables? inversibles?
\item Soit 
\[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \]
une matrice carr\'ee d'ordre 2 quelconque. En fonction de $a,b,c,d$, d\'eterminer le nombre de valeurs propres r\'eelles distinctes de $A$. \\
\`A quelles conditions sur $a,b,c,d$ la matrice $A$ est-elle diagonalisable sur $\R$~?
\item Trouver deux sous-espaces vectoriels $E$ et $F$ de $\M_2(\R)$ tels que tous les \'el\'ements de $E$ sont diagonalisables, tous les \'el\'ements non-nuls de $F$ sont non-diagonalisables, et $E + F = \M_2(\R)$. $E$ et $F$ sont-ils en somme directe?
\item On consid\`ere d\'esormais les matrices carr\'ees d'ordre $n \geq 1$ quelconque. Chercher des sous-espaces vectoriels $E$ et $F$ de $\M_n(\R)$, de dimensions aussi grandes que possible, tels que tous les \'el\'ements de $E$ sont diagonalisables et tous les \'el\'ements non-nuls de $F$ sont non-diagonalisables.
\end{enumerate}

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%%% Planche 16

\noindent Soit $n \geq 1$ un entier et $\M_n(\R)$ l'ensemble des matrices $n\times n$ \`a coefficients r\'eels. On note $I_n$ la matrice identit\'e de $\M_n(\R)$. Pour tout $M \in \M_n(\R)\,$, on note 
\[ \Tr(M) = \sum_{i=1}^n M_{i,i} \]
la trace de $M\,$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $M \in \M_n(\R)\,$, $\Tr(\transpose{M}M) \geq 0$ et d\'eterminer les \'eventuels cas d'\'egalit\'e. 
\item Soit $M \in \M_n(\R)$ fix\'ee. Montrer que 
\[ \Tr\paren{ \transpose{\paren{M + \lambda I_n}} \paren{M + \lambda I_n}} \]
est un polyn\^ome de degr\'e deux en $\lambda$ dont on pr\'ecisera les coefficients. 
\item D\'eduire des deux questions pr\'ec\'edentes que 
\[ \paren{ \Tr(M) }^2 \leq n \Tr\paren{ \transpose{M} M }  \enspace , \]
et pr\'eciser les cas d'\'egalit\'e.
\item Calculer
\[ \inf_{M \in \M_n(\R) \, , \, \Tr(M) > 0} \set{ \frac{\Tr\paren{ \transpose{M} M }}{\Tr(M)} } \enspace .  \]
\end{enumerate}

\newpage

Quelle est la probabilit\'e que, dans une classe de $m$ \'el\`eves, deux au moins soient n\'es le m\^eme jour de l'ann\'ee~? 
Pour r\'epondre \`a cette question, on consid\`ere le mod\`ele suivant : les dates de naissance des \'el\`eves sont des r\'ealisations de variables al\'eatoires ind\'ependantes identiquement distribu\'ees suivant une loi $P$ \`a valeur dans l'ensemble $\{1,\dots, n\}$ avec $n=365$ (on ignore les ann\'ees bissextiles).
Pour $i\in\{1,\dots, n\}$, on note $p_i = P(\{i\})$, et on note $\pi(p_1,\dots,p_n)$ la probabilit\'e recherch\'ee.
\begin{enumerate}
 \item Montrer que 
\[1-\pi(p_1,\dots,p_n) = m! \sum_{1\leq i_1<\dots<i_{m}\leq n} p_{i_1}\dots p_{i_m}\;.\]
 \item Montrer que
\[\pi\left(\frac{1}{n},\dots,\frac{1}{n}\right) \geq 1-\exp\left(-\frac{m(m-1)}{2n}\right) \;.\]
 \item Montrer que 
\[\pi(p_1,p_2, p_3, \dots,p_n) \geq  \pi\left(\frac{p_1+p_2}{2},\frac{p_1+p_2}{2},p_3 \dots,p_n\right)\;.\]
\item En d\'eduire pour quelle loi $P$ la probabilit\'e $\pi(p_1,\dots,p_n)$ est minimale.
\end{enumerate}

\nnewpage


\end{document}
