\documentclass[11pt,a4paper,oneside]{amsart} \usepackage{amsmath,amssymb,amsbsy} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{vmargin,fancyhdr} \usepackage{enumerate} %%%%%%%%% Macros %%%%%%%%% \renewcommand{\l}{\lambda} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \renewcommand{\Im}{\mathop{\mathrm{Im}}} \newcommand{\Ker}{\mathop{\mathrm{Ker}}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \renewcommand{\P}{\mathbb{P}} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \renewcommand{\d}{\,\mbox{d}} \newcommand{\id}{\mbox{id}} \newcommand{\Var}{\mathop{\mathrm{Var}}} \newcommand{\Vect}{\mathop{\mathrm{Vect}}} \newcommand{\Cov}{\mathop{\mathrm{Cov}}} \newcommand{\abs}[1][\cdot]{\ensuremath{\bigl| #1 \bigr|}} \renewcommand{\Re}{\mathop{\mathrm{Re}}} \newcommand{\Tr}{\mathop{\mathrm{Tr}}} \newcommand{\rg}{\mathop{\mathrm{rg}}} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \newcommand{\Crd}{\mathop{\mathrm{Card}}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \renewcommand{\th}{\mathop{\mathrm{th}}} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\le}{\leqslant} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\ge}{\geqslant} \newcommand{\1}{\mathbb{I}} \newcommand{\wh}{\widehat} \newcommand{\paren}[1]{\left( \left. #1 \right. \right)} \newcommand{\sparen}[1]{(#1)} \newcommand{\croch}[1]{\left[ \left. #1 \right. \right]} \newcommand{\scroch}[1]{[#1]} \newcommand{\set}[1]{\left\{ \left. #1 \right. \right\}} \newcommand{\sset}[1]{\{ #1 \}} \newcommand{\absj}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert} %joli abs \newcommand{\sabsj}[1]{\lvert #1 \rvert} %joli abs 'petit' \providecommand{\norm}[1]{\left \lVert #1 \right\rVert} \newcommand{\prodscal}[2]{\ensuremath{\left\langle #1 \, , \, #2 \right\rangle}} \newcommand{\un}{\mathbf{1}} \newcommand{\sachant}{\, \right| \left. \,} % pour l'esp\'erance conditionnelle... \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\card}{\Crd} \newcommand{\transpose}[1]{\ensuremath{{}^{t} #1}} \newcommand{\guil}[1]{``#1''} \newtheorem{theorem}{Th\'eor\`eme} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \renewcommand{\theenumii}{\arabic{enumii}} \renewcommand{\theequation}{\arabic{equation}} \newcounter{ctr} \newcommand{\Nnewpage}{\addtocounter{ctr}{1} \newpage} \newcommand{\nnewpage}{\newpage \Nnewpage} \newcommand{\indic}[1]{\ \\ \noindent {\it Indication: #1}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \fancyhead[CO,CE]{\normalfont\small Planche \arabic{ctr}} \fancyhead[LO,RE]{} \fancyfoot[RO,LE]{} \fancyhead[RO,LE]{} \fancyfoot[CE,CO]{ \normalfont\small \hspace{-0.086cm}\'Epreuves orales de math\'ematiques 2012, concours d'entr\'ee \`a l'\'Ecole Normale Sup\'erieure, voie B/L } \begin{document} \ \\ \vspace{2.5cm} Vous traiterez les exercices suivants et les pr\'esenterez {tous deux}, dans l'ordre de votre choix. Le temps de pr\'eparation est d'une heure~; l'interrogation durera une demi-heure environ. Au d\'ebut de l'interrogation, vous disposerez de dix minutes au maximum pour pr\'esenter vos r\'esultats, sans intervention du jury. Vous \^etes encourag\'e \`a ne pas recopier l'int\'egralit\'e de vos calculs, mais plut\^ot \`a vous concentrer sur les points cruciaux de votre raisonnement. % Le jury reviendra ensuite sur les questions qu'il souhaitera approfondir, y compris \'eventuellement celles que vous n'auriez pas eu le temps d'aborder pendant la pr\'eparation. Il vous donnera le cas \'ech\'eant des indications. \newpage \setcounter{ctr}{1} \thispagestyle{fancy} \pagestyle{fancy} \renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%% Planche 1 Soit $f$ la fonction définie sur l'ensemble $]-1, 1[$ par les relations $f(0)=0$ et, pour $x\neq 0$, \[f(x) = \frac{x}{\ln|x|}\cos\left(\frac{1}{x}\right)\;.\] \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est continue et dérivable en $0$. \item A-t-on \[f'(x)\to_{x\to 0}f'(0) \;\;?\] \item Montrer: \[\forall a\in]0,1[, \forall M\in\R, \exists x\in]-a,a[: \quad f'(x)=M\;.\] \end{enumerate} \newpage Soient $a,b,c$ trois nombres réels. On définit la suite $u_n$ par les relations $u_1=a, u_2=b, u_3=c$ et, pour $n\geq 4$, \[u_{n} = \frac{u_{n-1}+u_{n-2}+u_{n-3}}{3}\;.\] On pose \'egalement~: \[A = \left(\begin{array}{ccc} 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{array}\right)\;.\] \begin{enumerate} \item Soit \[P = \left(\begin{array}{ccc} 1&-9&0\\ 1 & 3 & 3\sqrt{2}\\ 1 & 1& -2\sqrt{2} \end{array}\right)\;.\] Calculer $P^{-1}AP$. \item Soit \[B = \left(\begin{array}{cc} -\frac{1}{3}& -\frac{\sqrt{2}}{3} \\ \frac{\sqrt{2}}{3} & -\frac{1}{3}\\ \end{array}\right)\;.\] Montrer que tous les coefficients de la matrice $B^n$ tendent vers $0$ quand l'entier $n$ tend vers l'infini. \item Que dire de $A^n$ quand $n$ tend vers l'infini~? \item Montrer que la suite $u_n$ converge, et d\'eterminer sa limite. \end{enumerate} \nnewpage %%% Planche 2 Soit $(p_n)_{n\geq 1}$ une suite \`a termes positifs; pour tout $n\geq 1$ on pose $Q_n = p_1+\dots+p_n$ et on suppose que \begin{itemize} \item[(i)] $Q_n$ tend vers l'infini quand $n$ tend vers l'infini; \item[(ii)] $\frac{p_n}{Q_n}$ tend vers $0$ lorsque $n$ tend vers l'infini. \end{itemize} On pose alors pour tout $n\geq 1$: \[R_n = \frac{p_1}{Q_1} + \dots + \frac{p_n}{Q_n}\;.\] \begin{enumerate} \item Donner un exemple de suite $(p_n)_{n\geq 1}$ satisfaisant les hypoth\`eses requises, et pour laquelle vous connaissez un \'equivalent de $R_n$. \item Si $(u_n)_{n\geq 1}$ et $(v_n)_{n\geq 1}$ sont deux suites \`a termes positifs telles que $u_n\sim v_n$ quand $n$ tend vers l'infini, et si la s\'erie de terme g\'en\'eral $v_n$ diverge, montrer que \[\sum_{k=1}^n u_k \sim \sum_{k=1}^n v_k \] quand $n$ tend vers l'infini. \item Montrer que $R_n \sim \ln\left(Q_n\right)$ quand $n$ tend vers l'infini. \end{enumerate} \newpage Soient $X_1,\dots,X_n$ des variables ind\'ependantes de loi exponentielle de param\`etre $\lambda>0$, c'est-\`a-dire de densit\'e \[f:x\mapsto \begin{cases} 0 &\hbox{ si } x < 0, \\ \lambda \exp(-\lambda x) & \hbox{sinon.}\end{cases}\] On pose $L_n = \min_{1\leq i\leq n} X_i$ et $U_n = \max_{1\leq i\leq n} X_i$. \begin{enumerate} \item Calculer la fonction de r\'epartition de $L_n$, puis celle de $U_n$. \item Quelle est la loi de $Y_n = n \lambda L_n$~? \item On pose $Z_n = \lambda U_n - \ln(n)$. Calculer la fonction de r\'epartition $F_n$ de $Z_n$, puis trouver la limite de $F_n(x)$ pour tout r\'eel $x$ quand $n$ tend vers l'infini. \end{enumerate} On dispose de $n$ ampoules identiques, dont on mod\'elise les dur\'ees de vie par des variables exponentielles ind\'ependantes. \begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3} \item On suppose que l'on sait seulement combien de temps a fonctionn\'e l'ampoule qui a claqu\'e le plus tôt. \`A partir de cette seule information, proposer un estimateur pour la dur\'ee de vie moyenne des ampoules. Cet estimateur est-il sans biais~? \item On suppose maintenant que l'on sait seulement combien de temps a fonctionn\'e l'ampoule qui a claqu\'e le plus tard. \`A partir de cette seule information, proposer un estimateur pour la dur\'ee de vie moyenne des ampoules. \end{enumerate} \nnewpage %%% Planche 3 \noindent Soit $n$ un entier sup\'erieur ou \'egal \`a 2. On consid\`ere une file d'attente avec un guichet et $n$ clients qui attendent. Chaque minute, un guichet se lib\`ere. Le guichetier choisit alors le client qu'il appelle selon le processus al\'eatoire suivant: \begin{itemize} \item avec probabilit\'e $1/2$, il appelle le client en premi\`ere position dans la file, \item sinon, il choisit de mani\`ere \'equiprobable parmi les clients aux positions $2, \ldots, n$. \end{itemize} Enfin, un nouveau client arrive dans la file et se place en derni\`ere position (de telle sorte qu'il y a toujours exactement $n$ clients qui attendent). \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la loi du temps d'attente pour un client qui se trouve en premi\`ere position dans la file? Donner son esp\'erance, sa variance. \item Pour tout $k \in \set{1, \ldots, n}$, on note $T_{k,n}$ le temps d'attente d'un client qui se trouve en position $k$ dans la file. Montrer que $T_{k,n}$ admet une esp\'erance et une variance finies. \item \'Ecrire une relation entre $\E[T_{k,n}]$ et $\E[T_{k-1,n}]$ pour tout $k \geq 2$. En d\'eduire une expression de $\E[T_{k,n}]$ en fonction de $k$ et $n$. \indic{On pourra montrer que la suite $(u_k)_{1 \leq k \leq n}$ d\'efinie par \[ u_k = \frac{n+k-2}{2(n-1)} \, \E[T_{k,n}] \] est une suite arithm\'etique.} \item Comparer les caract\'eristiques de cette file d'attente et d'une file d'attente ``classique'' (premier arriv\'e, premier servi). \end{enumerate} \newpage Pour tout entier $n$, on note $n! = 1\times\dots\times n$, et on pose $0!=1$. Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ une suite telle que, pour tout $n\geq 0$, $u_n\in\{-1, +1\}$. On pose \[\ell = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{u_n}{n!}\;.\] \begin{enumerate} \item Donner la valeur de $\ell$ quand $u_n = 1$, puis quand $u_n=(-1)^n$. \item Pour tout entier $q$ strictement positif, montrer que \[\sum_{n=q+1}^\infty \frac{q!}{n!} < \frac{1}{q}\;.\] \item Pour tout entier $q$ strictement positif, montrer que \[\sum_{n=q+2}^\infty \frac{q!}{n!} < \frac{1}{q(q+1)}\;,\] \item En d\'eduire que $\ell$ n'est pas un nombre rationnel, c'est-\`a-dire ne peut pas s'\'ecrire comme quotient $p/q$ de deux entiers $p$ et $q$. \end{enumerate} \nnewpage %%% Planche 4 \noindent On dit qu'une variable al\'eatoire \`a densit\'e suit une loi de Cauchy de param\`etre $x_0 \in \R$ lorsqu'elle admet pour densit\'e la fonction d\'efinie par \[ \forall x \in \R \, , \quad f(x) = \frac{1}{\pi \paren{ 1 + \paren{x-x_0}^2 }} \enspace . \] Dans tout l'exercice, $X$ d\'esigne une variable al\'eatoire suivant une telle loi de Cauchy. \begin{enumerate} \item Justifier le fait que $f$ est bien une densit\'e, et calculer la fonction de r\'epartition de $X$. Tracer sur un m\^eme graphe la densit\'e et la fonction de r\'epartition de $X$ (en prenant $x_0=1$). \item Pour tout $R>0$, calculer \[ \int_{-R}^R x f(x) dx \] puis sa limite lorsque $R$ tend vers l'infini. \\ La variable $X$ admet-elle une esp\'erance? une variance? Lorsque c'est possible, donner leur valeur. \item On rappelle d'une m\'ediane $m$ de $X$ est un r\'eel v\'erifiant $\P(X \leq m) = \P(X \geq m)=1/2$. D\'eterminer l'ensemble des m\'edianes de $X$. \item Soient $X_1, \ldots, X_n$ des variables al\'eatoires ind\'ependantes de loi de Cauchy de param\`etre $x_0$. On note $\widehat{m}_n$ une m\'ediane de $\set{X_1, \ldots, X_n}$, c'est-\`a-dire un r\'eel satisfaisant \[ \card \set{ i \in \set{1, \ldots, n} \, / \, X_i \leq \widehat{m}_n } = \card \set{ i \in \set{1, \ldots, n} \, / \, X_i \geq \widehat{m}_n } \enspace . \] Montrer que $\widehat{m}_n$ converge lorsque $n$ tend vers l'infini, et pr\'eciser sa limite. \end{enumerate} \newpage On appelle $\mathcal{E}$ l'ensemble de tous les polynômes $P$ \`a coefficients r\'eels tels que : \[\forall x\in\R, \;P\left(x^2\right) = P(x) P(x-1)\;.\] \begin{enumerate} \item Trouver tous les polynômes $P\in \mathcal{E}$ de degr\'e au plus $2$. \item Soit $P\in \mathcal{E}$, et soit $Z_P = \{z\in\C : P(z)=0\}$. On d\'efinit les applications $f$ et $g$ sur $\C$ par les relations : \[f(z) = z^2,\quad g(z) = (z+1)^2\;.\] Montrer : \[\forall z\in Z_P, \quad \big\{f(z),\, g(z)\big\} \subset Z_P\;.\] \item En d\'eduire que tout \'el\'ement $z$ de $Z_P$ est de module $1$, puis que \[Z_P \subset \left\{e^{-\frac{2i\pi}{3}}, e^{\frac{2i\pi}{3}}\right\}\;.\] \item Conclure. \end{enumerate} \nnewpage %%% Planche 5 Soit $a$ un r\'eel strictement sup\'erieur \`a $1$. On d\'efinit la suite $u_n$ par r\'ecurrence de la façon suivante : $u_1=1$ et pour tout $n\geq 2, u_{n+1}=a^{u_n}$. \begin{enumerate} \item Faire l'\'etude sur $\R^+$ de la fonction $f: x\mapsto a^x-x$, et tracer grossi\`erement son graphe. \item Dans cette question seulement, on prend $a=\sqrt{2}$. Etudier la convergence de la suite $(u_n)_n$. \item D\'eterminer l'ensemble des valeurs de $a>1$ pour lesquelles la suite $(u_n)_n$ converge. \end{enumerate} \newpage Une urne contient des boules num\'{e}rot\'{e}es de $1$ \`{a} $n.$ On effectue des tirages sans remise tant que les num\'{e}ros obtenus forment une suite strictement croissante. \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer la loi de la variable al\'{e}atoire $X$ repr\'{e}sentant le nombre de tirages effectu\'{e}s. \item Montrer que $E\left[ X\right] =\sum_{k=1}^{n} \P\left( X\geq k\right) .$ \item D\'{e}terminer $E[X]$, et sa limite quand $n$ tend vers l'infini. \item Reprendre les questions pr\'ec\'edentes, en supposant cette fois que les boules sont tir\'ees \emph{avec} remise. Comparer les deux r\'esultats. \end{enumerate} \nnewpage %%% Planche 6 \noindent Soient $X$ et $Y$ deux variables al\'eatoires ind\'ependantes, $S=X+Y$ et $P=XY$. On suppose que $X < 0 < Y$, et l'on suppose que $S$ et $P$ admettent une variance. \begin{enumerate} \item Exprimer $X$ et $Y$ en fonction de $S$ et $P$. \item D\'eterminer, si c'est possible, $\E\croch{X}$ et $\E\croch{Y}$, en fonction des esp\'erances de $S$ et $P$. \item D\'eterminer, si c'est possible, $\E\croch{X^2}$ et $\E\croch{Y^2}$, en fonction des esp\'erances et variances de $S$ et $P$. \item On suppose que $X$ et $Y$ ne prennent que des valeurs enti\`eres, avec $\P(X=-1)>0$ et $\P(Y=1)>0$. Est-il possible d'avoir $S$ et $P$ ind\'ependantes? Si oui, quelles lois sont possibles pour $X$ et $Y\,$? \end{enumerate} \newpage On consid\`ere la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ d\'efinie par les relations $u_0=1/2$ et \[\forall n\geq 0, \quad u_{n+1} = \frac{1+u_n^2}{2}\;.\] \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ converge, et d\'eterminer sa limite. \item Pour tout $n\geq 0$, on pose $v_n = 1/(1-u_n)$. Montrer que $v_n$ est bien d\'efini pour tout $n$, puis montrer que pour tout $n\geq 1$~: \[v_n = v_0 + \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{1+u_k}\;.\] \item En d\'eduire que \[u_n = 1 - \frac{2}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right)\;.\] \item Montrer que \[u_n = 1 - \frac{2}{n} + \frac{2\ln(n)}{n^2} + o\left(\frac{\ln(n)}{n^2}\right)\;.\] \end{enumerate} \nnewpage \addtocounter{ctr}{1} %%% Planche 8 Dans cet \'enonc\'e, si $A$ d\'esigne un ensemble de nombres entiers et si $(u_n)_{n\in\N}$ est une suite r\'eelle, on \'ecrit \[\sum_{k\in A, k\leq n} u_k = \sum_{k=1}^n u_k\1\{k\in A\}\;.\] On dit que l'entier naturel $a$ divise l'entier naturel $b$ s'il existe un entier $c$ tel que $b=ac$~: on note alors $a|b$. On note \[ P = \big\{k \in\N^* : \forall c\in\N^*, \; c|k \implies c\in\{1,k\} \big\}\] l'ensemble des nombres premiers, \[C = \left\{k^2 : k\in\N^*\right\}\] l'ensemble des nombres entiers qui sont des carr\'es, et \[F=\left\{k\in\N^* : \forall c\in\N^*, \; c^2|k\implies c=1\right\}\] l'ensemble des entiers naturels sans facteur carr\'e. \begin{enumerate} \item Pour $E\in\{P, C, F\}$, que vaut $E\cap\{1,\dots, 10\}$~? \item La suite de terme g\'en\'eral \[u_n=\sum_{k\in C, k\leq n} \frac{1}{k}\] est-elle convergente~? \item Montrer que pour tout entier $n$ strictement positif~: \[\left(\sum_{k\in C, k\leq n} \frac{1}{k}\right)\left(\sum_{k\in F, k\leq n} \frac{1}{k}\right) \geq \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\;.\] \item Montrer que pour tout entier $n$ strictement positif~: \[\exp\left(\sum_{k\in P, k\leq n} \frac{1}{k}\right) \geq \prod_{k\in P, k\leq n} \left(1+\frac{1}{k}\right) \geq \sum_{k\in F, k\leq n} \frac{1}{k}\;.\] \item La suite de terme g\'en\'eral \[v_n = \sum_{k\in P, k\leq n} \frac{1}{k}\] est-elle convergente~? \end{enumerate} \newpage Soit $X = (Y,Z)$ un vecteur al\'eatoire discret \`a valeurs dans $\{0,1\}^2$, de loi: \begin{align*} P(Y = 1;Z = 1) = r & \qquad P(Y = 0;Z = 1) = p - r\\ P(Y = 1;Z = 0) = p - r & \qquad P(Y = 0;Z = 0) = 1 - 2p + r \end{align*} où $0 < r < p$ et $0 < 1 - 2p + r$. On consid\`ere une suite de variables ind\'ependantes $X_i = (Y_i;Z_i)$ de m\^eme loi que $X$. On pose $U =\sum_{i=1}^n Y_i$ et $V =\sum_{i=1}^n Z_i$. \begin{enumerate} \item Quelles sont les lois des variables $U$ et $V$ ? \item Calculer la covariance de $Y_1$ et $Z_1$. Pour quelle valeur de $r$ cette covariance est-elle nulle? Les variables $Y_1$ et $Z_1$ sont-elles ind\'ependantes? \item D\'eduire de la question pr\'ec\'edente la covariance de $U$ et $V$. \end{enumerate} \nnewpage %%% Planche 9 On dit qu'une suite $(x_n)_{n \geq 1}$ de nombres r\'eels \emph{converge au sens de C\'esaro} vers $r$ si \[\lim_{n\to\infty} \frac{x_1+\dots+x_n}{n} = r\;.\] On dit qu'une fonction $f:\R\to\R$ est \emph{continue au sens de C\'esaro} en $r\in\R$ si, pour toute suite $(x_n)_{n \geq 1}$ convergeant vers $r$ au sens de C\'esaro, la suite $\big(f(x_n)\big)_{n \geq 1}$ converge vers $f(r)$ au sens de C\'esaro. \begin{enumerate} \item Soient $a$ et $b$ deux r\'eels quelconques. Montrer que la suite \[-a,-b,(a+b),-a,-b,(a+b),\dots\] converge au sens de C\'esaro vers $0$. \item Montrer que si $f$ est continue en $0$ au sens de C\'esaro, et si $f(0)=0$, alors \[f(a+b) = f(a)+f(b)\] pour tous r\'eels $a$ et $b$. \item Montrer que si $f$ est continue en $0$ au sens de C\'esaro, alors $f$ est continue (au sens usuel) en $0$. On pourra pour cela montrer que si $(x_n)_{n \geq 1}$ est une suite quelconque, il existe une suite $(y_n)_{n \geq 1}$ telle que pour tout $n$, $(y_1+\dots+y_n)/n=x_n$. \item D\'eduire des questions pr\'ec\'edentes que les seules fonctions continues en un point au sens de C\'esaro sont les fonctions affines. \end{enumerate} \newpage Soit $X$ une variable al\'eatoire positive dont la densit\'e $f$ est (continue et) strictement positive sur $\R^+$. On note $\mu$ son esp\'erance (suppos\'ee finie) et $m$ sa m\'ediane. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe un unique r\'eel $\ell$ tel que \[\int_{0}^{\ell} x f(x) dx = \int_{\ell}^{+\infty} xf(x) dx.\] Ce r\'eel $\ell$ est appel\'e la \emph{m\'ediale} de $X$. \item Montrer que $m < \ell$. \item Dans cette question seulement, on suppose que $X$ suit une loi exponentielle de param\`etre $\lambda$. Dans quel ordre se classent $\mu, m$ et $\ell\,$? \end{enumerate} \nnewpage %%% Planche 10 Un \emph{bit} est un symbole informatique \'el\'ementaire valant soit $0$, soit $1$. Un canal de transmission transmet des bits avec erreur selon le mod\`ele suivant~: il transmet fid\`element un bit avec probabilit\'e $p$ et de façon erron\'ee avec probabilit\'e $(1-p)$ où $00 \, , \quad \forall a \in \, ] 0,1] \, , \quad \absj{ \overline{f}_a - f(0) } \leq C a \] Y a-t-il \'egalit\'e pour certaines fonctions $f\,$? \item On admet le r\'esultat suivant (formule de Taylor-Lagrange): pour tout $u \in \, ] 0,1]\,$, il existe $h(u) \in \, ] 0 , u [$ tel que \[ f(u) = f(0) + u f^{\prime}(0) + \frac{u^2}{2} f^{\prime \prime}(h(u)) \enspace . \] En d\'eduire un \'equivalent de \[ \overline{f}_a - f(0) \] lorsque $a \in \, ] 0,1]$ tend vers z\'ero. \item D\'eterminer un \'equivalent de $ G_a \paren{ f(0) } $ lorsque $a \in \, ] 0,1]$ tend vers z\'ero. Conclure. \end{enumerate} \nnewpage %%% Planche 11 Dans cet exercice, on d\'esigne par $\mathcal{G}$ le $\R$-espace vectoriel form\'e par l'ensemble des fonctions de $\R$ dans $\R$ d\'erivables et de d\'eriv\'ee continue. On note $\# A$ le cardinal d'un ensemble~$A$. Soit $n$ un entier strictement positif, et soient $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n$ des nombres r\'eels tels que $\lambda_1<\lambda_2<\dots<\lambda_n$. \begin{enumerate} \item Montrer que \[F = \left\{ x\mapsto e^{\lambda_i x} : i\in\{1,\dots,n\}\right\}\] est une famille libre de $\mathcal{G}$. \end{enumerate} On note $\mathcal{F}$ le sous-espace vectoriel de $\mathcal{G}$ qu'engendre la famille $F$. Pour tout \'el\'ement $f\in\mathcal{F}$ et pour tout r\'eel $\lambda$, on d\'efinit \begin{align*} T_\lambda(f) &= \left( x\mapsto e^{\lambda x} \frac{d\left[e^{-\lambda x}f(x)\right]}{dx}\right)\;,\\ Z(f) &= \#\big\{ x\in\R : f(x) = 0\big\}\;. \end{align*} En outre, si $f\in\mathcal{F}$ est tel que, pour tout $x\in\R$, $f(x)=a_1 e^{\lambda_1 x} + a_2 e^{\lambda_2 x} +\dots + a_n e^{\lambda_n x}$, on note \[C(f) = \#\big\{ i\in{2,\dots,n} : a_{i-1}a_i < 0\big\}\;.\] D'apr\`es la premi\`ere question, l'application $C$ est bien d\'efinie sur $\mathcal{F}$. \begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{1} \item Montrer que $\mathcal{F}$ est stable par $T_\lambda$ pour tout r\'eel $\lambda$. \item Soit $f\in\mathcal{F}$ tel que $f(x)= a_1 e^{\lambda_1 x} + a_2 e^{\lambda_2 x} +\dots + a_n e^{\lambda_n x}$, et tel que $C(f)\neq 0$. Si $i\in\{2,\dots,n\}$ est tel que $a_{i-1}a_i<0$, montrer que pour tout r\'eel $\lambda$ de l'intervalle $]\lambda_{i-1}, \lambda_i[$ on a simultan\'ement : \begin{align*} & Z\big(T_\lambda(f)\big) \geq Z(f) - 1 \;\hbox{ et }\\ & C\big(T_\lambda(f)\big) = C(f) - 1 \;. \end{align*} \item En d\'eduire que, pour tout \'el\'ement non nul $f$ de $\mathcal{F}$, on a \[Z(f) \leq C(f)\;.\] \end{enumerate} \newpage \noindent Soit $a , u_0 \in \R$ et $\varepsilon_0, \ldots, \varepsilon_n, ...$ une suite de variables al\'eatoires ind\'ependantes et de m\^eme loi. On suppose que pour tout entier $i$, \[ \E\croch{\varepsilon_i} = 0 \quad \mbox{et} \quad \E\croch{\varepsilon_i^2} = \sigma^2 > 0 \enspace . \] On d\'efinit alors la suite $(u_n)_{n \in \N}$ par $u_0 \in \R$ et la relation de r\'ecurrence \[ u_{n+1} = a u_n + \varepsilon_n \enspace . \] \begin{enumerate} \item Calculer l'esp\'erance de $u_n$ pour tout entier $n \geq 0$. \item On suppose les $\varepsilon_i$ de loi normale. Quelle est la loi de $u_n$? \item On suppose $a=1$. Montrer que $u_n/n$ converge lorsque $n$ tend vers l'infini vers une limite $\ell \in \R$, puis d\'eterminer la loi limite de $(u_n - \ell) / \sqrt{n}$ lorsque $n$ tend vers l'infini. \item M\^eme question lorsque $a=-1$. \end{enumerate} \nnewpage %%% Planche 12 Soit $f:[0,1]\to\R$ une fonction continue telle que $f(0)=f(1)$. On dit qu'un r\'eel $c\in[0,1]$ est une \emph{corde} de $f$ s'il existe un r\'eel $x\in[0,1-c]$ tel que $f(x+c) = f(x)$. \begin{enumerate} \item Montrer que $0, 1$ et $1/2$ sont des cordes de $f$. \item Montrer que tous les nombres de l'ensemble $A = \{1/n : n\in\N^*\}\cup\{0\}$ sont des cordes de $f$. \item Soit $c\in[0,1]\setminus A$, et soit $g:[0,1]\to\R$ la fonction d\'efinie par la relation~: \[g(x) = x + \frac{\cos\left(\frac{2\pi x}{c}\right)}{1-\cos\left(\frac{2\pi}{c}\right)}\;.\] Montrer que $g$ est continue et telle que $g(0)=g(1)$. Le r\'eel $c$ est-il une corde de~$g$~? \end{enumerate} \newpage \noindent Soit $n \geq 1$ un entier et $X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n$ des variables al\'eatoires r\'eelles ind\'ependantes. On suppose pour tout $i$ compris entre $1$ et $n$, $X_i$ suit une loi uniforme sur $[0,\mu]\,$, pour un certain r\'eel $\mu >1 \,$, et $Y_i$ suit une loi uniforme sur $[0,1]\,$. Pour tout $i \in \set{1, \ldots, n} \,$, on observe \[ Z_i = \min\set{ X_i \, , \, Y_i } \enspace , \] et l'on souhaite en d\'eduire le param\`etre $\mu\,$. \begin{enumerate} \item D\'eterminer la fonction de r\'epartition de $Z_1\,$. \item Calculer l'esp\'erance de $Z_1\,$. \item Proposer un estimateur de $\mu\,$. \item Calculer la variance de $Z_1\,$. \item Soit $\alpha \in \, ]0,1[\,$. Proposer un intervalle de confiance de probabilit\'e de couverture $1-\alpha$ pour $\mu\,$. \end{enumerate} \nnewpage %%% Planche 13 Soient $Y$ et $Z$ deux variables al\'eatoires ind\'ependantes \`a valeur dans l'ensemble $\{0, \dots, 5\}$, soit $P_Y$ le polynôme d\'efini par la relation $P_Y(t) = \E\left[t^Y\right]$, et soit $P_Z$ le polynôme d\'efini par la relation $P_Z(t) = \E\left[t^Z\right]$. \begin{enumerate} \item Exprimer, pour tout $k\in\{0, \dots, 10\}$, $P(Y+Z=k)$ \`a l'aide du polynôme produit $P_Y P_Z$. \item Quelles sont les racines r\'eelles et complexes du polynôme $R(t) = 1+t+\dots+t^{10}$~? \item La somme de deux d\'es \`a six faces, \'eventuellement pip\'es, peut-elle avoir une loi uniforme ? \item La somme de deux d\'es \`a six faces pip\'es peut-elle avoir la m\^eme loi que la somme de deux d\'es \`a six faces \'equilibr\'es ? \end{enumerate} \newpage \noindent D\'eterminer et repr\'esenter graphiquement l'ensemble \[ \set{ (x,g(x)) \, / \, x \in [0,1] \mbox{ et } g \in \mathcal{G} } \] lorsque $\mathcal{G}$ est l'un des ensembles suivants: \begin{enumerate} \item $\mathcal{G} = \mathcal{G}_1 = \set{ g : [0,1] \mapsto [0,1] \mbox{ continue} }$. \item $\mathcal{G} = \mathcal{G}_2 = \set{ g \in \mathcal{G}_1 \, / \, g(0)=0 \mbox{ et } \forall x,y \in [0,1] \, , \, \absj{ g(x) - g(y) } \leq \absj{x-y} }$. \item $\mathcal{G} = \mathcal{G}_3 = \set{ g : [0,1] \mapsto [0,1] \mbox{ d\'erivable} \, / \, g(0)=0 \, , \, g(1) = \frac{1}{2} \mbox{ et } \forall x \in [0,1] \, , \, \absj{ g^{\prime}(x) } \leq 1 }$. \item $\mathcal{G} = \mathcal{G}_4 = \set{ g \in \mathcal{G}_1 \mbox{ deux fois d\'erivable} \, / \, g(0)=g^{\prime}(0)=0 \, , \, \absj{ g^{\prime\prime}(x) } \leq 1 }$. \item $\mathcal{G} = \mathcal{G}_5 = \set{ g \in \mathcal{G}_3 \mbox{ deux fois d\'erivable} \, / \, \absj{ g^{\prime\prime}(x) } \leq 1 }$. \end{enumerate} \nnewpage %%% Planche 14 Soit $n$ un entier strictement positif, et soit $\mathcal{D}\subset \mathcal{M}_n(\R)$ l'ensemble des matrices diagonales. Soit $A \in \mathcal{D}$ une matrice dont les coefficients diagonaux sont distincts deux \`a deux. \begin{enumerate} \item Montrer que $\mathcal{D}$ est un espace vectoriel. Quelle est sa dimension~? \item Montrer que la famille $\left(I_n, A, A^2,\dots, A^{n-1}\right)$ est une base de $\mathcal{D}$. \item D\'eterminer $\big\{ B\in\mathcal{M}_n(\R) : AB = BA \big\}$. \end{enumerate} \newpage \noindent Soit $\lambda >0$ et $X$ une variable al\'eatoire suivant une loi de Poisson de param\`etre $\lambda$. \begin{enumerate} \item Calculer l'esp\'erance, puis la variance de $X$. \item Soit $k \geq 1$ un entier. Montrer que $\E\croch{X^k}$ est bien d\'efinie, et exprimer sa valeur en fonction de $(\E\croch{X^j})_{0 \leq j \leq k-1}$. \item En fonction de la valeur de $\lambda>0$, la suite d\'efinie par $u_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k \E\croch{X^k}$ converge-t-elle? \item Montrer que \[ \E\croch{ \frac{1}{1+X} } \] est bien d\'efinie et calculer sa valeur. \end{enumerate} \nnewpage %%% Planche 15 Soit $f:\R\to\R$ la fonction d\'efinie par les relations $f(0)=0$ et, pour $x\neq 0$, \[f(x)= x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right) + \frac{x}{4}\;.\] \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est d\'erivable sur $\R$ et que $f'(0)=1/4$. \item Pour tout entier $k$ strictement positif, on d\'efinit \[x_k = \frac{1}{\frac{\pi}{3} + k\pi} \qquad \hbox{et} \qquad y_k = \frac{1}{-\frac{\pi}{3} + k\pi} \;.\] Montrer qu'il existe $k_0\in\N$ tel que: $\forall k\geq k_0, y_k\leq 1/16$, puis montrer~: \[\forall k\geq k_0, \forall x\in]x_k, y_k[, \quad f'(x)\cos\left(\frac{1}{x}\right)<0\;.\] \item Existe-t-il un r\'eel $\epsilon>0$ tel que la fonction $f$ soit croissante sur l'intervalle $]-\epsilon, \epsilon[$~? \end{enumerate} \newpage \noindent Pour tout entier $n \geq 1$, on note $\M_n(\R)$ l'ensemble des matrices carr\'ees d'ordre $n$ \`a coefficients r\'eels. \begin{enumerate} \item D\'eterminer l'ensemble des valeurs propres des matrices suivantes: \[ A_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \qquad A_2 = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \qquad A_3 = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \] Sont-elles diagonalisables? inversibles? \item Soit \[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \] une matrice carr\'ee d'ordre 2 quelconque. En fonction de $a,b,c,d$, d\'eterminer le nombre de valeurs propres r\'eelles distinctes de $A$. \\ \`A quelles conditions sur $a,b,c,d$ la matrice $A$ est-elle diagonalisable sur $\R$~? \item Trouver deux sous-espaces vectoriels $E$ et $F$ de $\M_2(\R)$ tels que tous les \'el\'ements de $E$ sont diagonalisables, tous les \'el\'ements non-nuls de $F$ sont non-diagonalisables, et $E + F = \M_2(\R)$. $E$ et $F$ sont-ils en somme directe? \item On consid\`ere d\'esormais les matrices carr\'ees d'ordre $n \geq 1$ quelconque. Chercher des sous-espaces vectoriels $E$ et $F$ de $\M_n(\R)$, de dimensions aussi grandes que possible, tels que tous les \'el\'ements de $E$ sont diagonalisables et tous les \'el\'ements non-nuls de $F$ sont non-diagonalisables. \end{enumerate} \nnewpage %%% Planche 16 \noindent Soit $n \geq 1$ un entier et $\M_n(\R)$ l'ensemble des matrices $n\times n$ \`a coefficients r\'eels. On note $I_n$ la matrice identit\'e de $\M_n(\R)$. Pour tout $M \in \M_n(\R)\,$, on note \[ \Tr(M) = \sum_{i=1}^n M_{i,i} \] la trace de $M\,$. \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $M \in \M_n(\R)\,$, $\Tr(\transpose{M}M) \geq 0$ et d\'eterminer les \'eventuels cas d'\'egalit\'e. \item Soit $M \in \M_n(\R)$ fix\'ee. Montrer que \[ \Tr\paren{ \transpose{\paren{M + \lambda I_n}} \paren{M + \lambda I_n}} \] est un polyn\^ome de degr\'e deux en $\lambda$ dont on pr\'ecisera les coefficients. \item D\'eduire des deux questions pr\'ec\'edentes que \[ \paren{ \Tr(M) }^2 \leq n \Tr\paren{ \transpose{M} M } \enspace , \] et pr\'eciser les cas d'\'egalit\'e. \item Calculer \[ \inf_{M \in \M_n(\R) \, , \, \Tr(M) > 0} \set{ \frac{\Tr\paren{ \transpose{M} M }}{\Tr(M)} } \enspace . \] \end{enumerate} \newpage Quelle est la probabilit\'e que, dans une classe de $m$ \'el\`eves, deux au moins soient n\'es le m\^eme jour de l'ann\'ee~? Pour r\'epondre \`a cette question, on consid\`ere le mod\`ele suivant : les dates de naissance des \'el\`eves sont des r\'ealisations de variables al\'eatoires ind\'ependantes identiquement distribu\'ees suivant une loi $P$ \`a valeur dans l'ensemble $\{1,\dots, n\}$ avec $n=365$ (on ignore les ann\'ees bissextiles). Pour $i\in\{1,\dots, n\}$, on note $p_i = P(\{i\})$, et on note $\pi(p_1,\dots,p_n)$ la probabilit\'e recherch\'ee. \begin{enumerate} \item Montrer que \[1-\pi(p_1,\dots,p_n) = m! \sum_{1\leq i_1<\dots