\documentclass[11pt,a4paper,oneside]{amsart}

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%%%%%%%%% Macros %%%%%%%%%

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\newtheorem{theorem}{Th\'eor\`eme}

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\newcounter{ctr}

\newcommand{\nnewpage}{\newpage \addtocounter{ctr}{1} }

\newcommand{\indic}[1]{\ \\ \noindent {\it Indication: #1}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\fancyhead[CO,CE]{\normalfont\small Planche \arabic{ctr}}
\fancyhead[LO,RE]{}
\fancyfoot[RO,LE]{}
\fancyhead[RO,LE]{}
\fancyfoot[CE,CO]{
\normalfont\small \hspace{-0.086cm}\'Epreuves orales de math\'ematiques 2013, concours d'entr\'ee \`a l'\'Ecole Normale Sup\'erieure, voie B/L
}

\begin{document}

\ \\
\vspace{2.5cm}

Vous traiterez les exercices suivants et les pr\'esenterez {tous deux}, dans l'ordre de votre choix.
Le temps de pr\'eparation est d'une heure~; l'interrogation durera une demi-heure environ.

Au d\'ebut de l'interrogation, vous disposerez de dix minutes au maximum pour pr\'esenter vos r\'esultats, sans intervention du jury. 
Vous \^etes encourag\'e \`a ne pas recopier l'int\'egralit\'e de vos calculs, mais plut\^ot \`a vous concentrer sur les points cruciaux de votre raisonnement. 
%
Le jury reviendra ensuite sur les questions qu'il souhaitera approfondir, y compris \'eventuellement celles que vous n'auriez pas eu le temps d'aborder pendant la pr\'eparation. Il vous donnera  le cas \'ech\'eant des indications.

\newpage
\setcounter{ctr}{1}
\thispagestyle{fancy}
\pagestyle{fancy}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%% Planche 1

\noindent
 Soient $(u_{n})_{n\geq 0}$ et $(v_{n})_{n\geq 0}$ les suites de terme g\'en\'eral
 \[u_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{k^{2}+3k-4}{k!} \qquad \mbox{et} \qquad v_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{2}{(2k+1)(2k+3)}\enspace.\]
\begin{enumerate}
 \item Montrer que les suites $(u_{n})_{n\geq 0}$ et $(v_{n})_{n\geq 0}$ convergent respectivement vers des limites qu'on note $u$ et $v$. 
\item Pour tout $\lambda>0$, rappeler la d\'efinition de la loi de Poisson de param\`etre $\lambda$, et donner les valeurs de son esp\'erance et sa variance. En d\'eduire $u$. 
\item Calculer $v$.
\end{enumerate}

\newpage

\noindent
Soit $n \geq 1$ un entier et $E_n = \R_n [X]$. Pour tout polyn\^ome $P$ de $E_n$, on note $P^{\prime}$ son polyn\^ome d\'eriv\'e. On consid\`ere l'application $f$ qui, \`a tout polyn\^ome $P$ de $E_n$ , associe le polyn\^ome $f(P)$ d\'efini par :
\[f(P)(X) = (X^2-1)P^{\prime}(X) - (nX + 1)P(X) \enspace.\]
\begin{enumerate}
\item Propri\'et\'es g\'en\'erales.
\begin{enumerate}[(a)]
\item Calculer $f(X^n)$, $f(1)$, puis $f(X^k)$ pour tout entier $k\in\set{1, \ldots, n - 1}$.
\item Montrer que $f$ est un endomorphisme de $E_n$ et donner la matrice $A$ de $f$ dans la base canonique de $E_n$.
\end{enumerate}
\item Lorsque $n=1$, d\'eterminer toutes les valeurs propres puis tous les sous-espaces propres de $f$.
\item On suppose d\'esormais que $n$ est un entier naturel non nul quelconque.
\begin{enumerate}[(a)]
\item Montrer que si un polyn\^ome $P$ est vecteur propre de l'endomorphisme $f$ alors $P$ est de degr\'e $n$.
\item Montrer que si $P$ est vecteur propre de $f$ et $r$ est une racine simple de $P$, alors $r\in \set{-1,1}$. 
\item Faire de m\^eme lorsque $r$ est une racine multiple de $P$. \\
En d\'eduire les valeurs propres et vecteurs propres associ\'es de l'endomorphisme~$f$. \\
L'endomorphisme~$f$ est-il diagonalisable?
\end{enumerate}
\end{enumerate}


%% Planche 3

\nnewpage
\addtocounter{ctr}{1}

\noindent
 Soit $X$ une variable al\'eatoire r\'eelle \`a densit\'e. Soit $F$ sa fonction de r\'epartition. On suppose que 
\begin{itemize}
\item $F$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$,
\item $X$ admet une esp\'erance,
\item $\lim_{x\to + \infty}x\left(1-F(x)+F(-x)\right)=0$.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que 
\[ \mathbb{E}\left[X\right]=\int_0^{+\infty}(1-F(x)-F(-x))dx \enspace . \]

\item On suppose que $X^2$ admet une esp\'erance finie. Exprimer de m\^eme $\mathbb{E}\left[X^2\right]$ en fonction de $F$.
\end{enumerate}

\newpage

\noindent Soit $n \geq 2$ un entier, $\M_n(\R)$ l'ensemble des matrices carr\'ees \`a coefficients r\'eels \`a $n$ lignes et $n$ colonnes, et $A \in \M_n(\R)$ la matrice dont le coefficient $A_{i,j}$ vaut 1 si $i<j$ et 0 sinon. 
%
%
\begin{enumerate}
%
\item Quel est le rang de $A$? $A$ est-elle inversible? \\
D\'eterminer les valeurs propres et vecteurs propres de $A$. Est-elle diagonalisable?
%
\item Trouver une matrice $B \in \M_n(\R)$ de rang 1 telle que $A+B$ est inversible. 
%
\item Soit $M,M^{\prime} \in \M_n(\R)$. Montrer que le rang de $M+M^{\prime}$ est inf\'erieur ou \'egal \`a la somme des rangs de $M$ et $M^{\prime}$. 
%
\item Soit $M \in \M_n(\R)$ de rang $r < n$ et $p \leq n-r$ un entier. Montrer qu'il existe une matrice $M^{\prime} \in \M_n(\R)$ de rang $p$ telle que $M+M^{\prime}$ est de rang $p+r$. 
%
\end{enumerate}

%% Planche 5

\nnewpage
\addtocounter{ctr}{1}

\noindent On note $\M_n(\R)$ l'espace vectoriel des matrices carr\'ees $n \times n$ \`a coefficients r\'eels et $I_n$ la matrice identit\'e de $\M_n(\R)\,$.

\begin{enumerate}
\item Quelle est la dimension de $\M_n(\R)\,$? En donner une base. 
\item Montrer que pour toute matrice $M \in \M_n(\R)$, il existe un entier $k \geq 1$ tel que la famille 
$I_n, M, M^2, \ldots , M^k$ est li\'ee. 
%
Dans la suite, on notera $\alpha(M)$ le plus petit entier $k \geq 1$ tel que la famille 
$I_n, M, M^2, \ldots , M^k$ est li\'ee. 
%
\item Si $M \in \M_n(\R)$ est inversible, montrer que $M, \ldots, M^{\alpha(M)}$ est libre. 
%
\item R\'eciproquement, si $M, \ldots, M^{\alpha(M)}$ est libre, montrer que $M$ est inversible et que son inverse peut s'\'ecrire comme une combinaison lin\'eaire de $I_n, M, \ldots, M^{\alpha(M)}\,$. 
%
\end{enumerate}

\newpage

\noindent  Fran\c{c}ois prend le TGV sans avoir eu le temps de r\'eserver sa place. 
Il monte donc dans la premi\`ere voiture, initialement vide, et s'assied \`a l'une des $N$ places disponibles. 
Il voit ensuite les passagers (munis de r\'eservation) monter un \`a un. Lorsqu'un passager se pr\'esente avec une r\'eservation pour la place occup\'ee par Fran\c{c}ois, celui-ci laisse sa place, et va s'asseoir sur le si\`ege vide le plus proche. 

On suppose que les passagers arrivent l'un apr\`es l'autre, et on mod\'elise la place r\'eserv\'ee par le passager qui arrive par une variable al\'eatoire uniforme parmi l'ensemble des places ``libres'' (c'est-\`a-dire, les si\`eges vides plus la place o\`u est assis Fran\c{c}ois). 
%
%
\begin{enumerate}
%
\item On suppose que $k \geq 0$ passagers avec r\'eservation sont d\'ej\`a install\'es. 
Quelle est la probabilit\'e pour que le $(k+1)$-\`eme passager ait r\'eserv\'e la place o\`u est alors assis Fran\c{c}ois?
%
\item Pour tout $k \in \set{1, \ldots, N-1}$, quelle est la probabilit\'e pour que Fran\c{c}ois voie s'installer $k$ passagers en ayant \`a se d\'eplacer \`a chaque fois? sans avoir \`a se d\'eplacer?
%
\item Pour tout $k \in \set{1, \ldots, N-1}$, quelle est l'esp\'erance du nombre de d\'eplacements qu'a d\^u faire Fran\c{c}ois apr\`es que $k$ passagers se sont install\'es? 
%
\item Le train s'av\`ere \^etre complet, et Fran\c{c}ois finit par voyager debout. 
Quelle est l'esp\'erance du nombre de d\'eplacements qu'a d\^u faire Fran\c{c}ois avant cela, en fonction de $N$? 
En donner un \'equivalent lorsque $N \to + \infty$. 
%
\end{enumerate}

%% Planche 6

\nnewpage

\noindent Soit 
\[ A = \begin{pmatrix}
    1      & \cdots & 1 \\ 
    \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 1
\end{pmatrix} 
\qquad 
\mbox{et}
\qquad 
B = \begin{pmatrix}
    1      & 1      & 0      & \cdots & 0 \\ 
    0      & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 
    \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 
    \vdots & 0      & \ddots & \ddots & 1 \\ 
    0      & \cdots & \cdots & 0      & 1
\end{pmatrix} 
\]
deux matrices carr\'ees de taille $n \geq 2$. 
Autrement dit, $A_{i,j}=1$ si $i \leq j$ et 0 sinon, $B_{i,j}=1$ si $i = j$ ou $i=j-1$, 0 sinon. 
%
\begin{enumerate}
%
\item Les matrices $A$ et $B$ sont-elles diagonalisables? Quelles sont leurs valeurs propres? 
\item Si $B$ est inversible, calculer l'inverse de $B$. 
\item Si $A$ est inversible, calculer l'inverse de $A$. 
%
\end{enumerate}

\newpage

On rappelle que pour tout entier $n \geq 1$, $n! = 1 \times 2 \times \cdots \times n$ d\'esigne le produit des entiers de $1$ \`a $n$. 
%
\begin{enumerate}
%
\item Calculer \[ \int_0^1 \ln(1+x) dx \enspace . \]
\item En d\'eduire que 
\[ \frac{1}{n} \paren{ \frac{(2n)!}{n!} }^{1/n} \]
converge vers une limite finie $\ell$ lorsque $n$ tend vers l'infini, dont on pr\'ecisera la valeur. 
\item De m\^eme, d\'eterminer la limite de 
\[ \frac{1}{n} \paren{ n! }^{1/n} \]
lorsque $n$ tend vers l'infini.
%
\item Soit $n\geq 1$ un entier. 
Dans une classe de $4n$ enfants, $2n$ filles et $2n$ gar\c{c}ons, le professeur d'EPS d\'ecide de constituer al\'eatoirement deux \'equipes de m\^eme effectif $2n$, uniform\'ement parmi les possibilit\'es. Quelle est la probabilit\'e que ces deux \'equipes soient chacune \`a parit\'e (c'est-\`a-dire, constitu\'ees de $n$ filles et $n$ gar\c{c}ons chacune)? \\
\`A l'aide des r\'esultats pr\'ec\'edents, peut-on calculer un \'equivalent de son logarithme lorsque $n$ tend vers l'infini? 
\end{enumerate}

%% Planche 8

\nnewpage
\addtocounter{ctr}{1}

\noindent
Les nombres d'objets produits quotidiennement sur une cha\^{\i}ne de montage sont
suppos\'es \^etre des variables al\'eatoires ind\'ependantes de loi de Poisson de param\`etre inconnu $\lambda$. On note $S$ le nombre
d'objets produits au cours d'une semaine donn\'{e}e (de 5
jours ouvrables) et $T$ le nombre total d'objets produits au cours de cette
m\^eme semaine ainsi que la suivante.



\begin{enumerate}
\item Soit $N\sim\mathcal{P}\left(\lambda\right)$. 
D\'eterminer les valeurs de $t \in \R$ telles que la transform\'ee de Laplace $\mathbb{E}\left[e^{t N}\right]$ est bien d\'efinie et donner sa valeur. 
\end{enumerate}

On admet que la transform\'ee de Laplace caract\'erise la loi, c'est \`a dire que, si $N'$ et $N''$ sont deux variables al\'eatoires telles
que, pour tout $t \in \R$, $\mathbb{E}\left[e^{t N'}\right]=\mathbb{E}\left[e^{t N''}\right]$, alors $N'\sim N''$.

\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{1}
\item D\'eterminer la loi de $S$ et celle de $T$. 
Quelle est la loi de $T$ sachant $S=k$?
\item Calculer la loi de $S$ sachant que $T=n$ en utilisant la formule de Bayes.
\item En d\'eduire une majoration de la probabilit\'{e} pour que
l'\'ecart (en valeur absolue) entre $S$ et $T/2$ soit sup\'erieur ou
\'egal \`a $k$ sachant que $T=n$. 
\end{enumerate}

\newpage

\noindent
 Soit $\alpha$ un r\'eel non nul et soit 
 \[M\:= 
\begin{pmatrix} \alpha&-1&0\\
1&\alpha&0\\
0&0&\alpha  \end{pmatrix}
\enspace.\]
%
\begin{enumerate}
\item Montrer que $M$ est inversible, calculer son inverse $M^{-1}$ puis $(M^{-1})^{2}$.
\item Soient $a,b,c$ des r\'eels fix\'es. 
Montrer que la fonction $f_{\alpha}$, d\'efinie pour tout r\'eel $x$ par 
\[ f_{\alpha}(x)=e^{\alpha x}(a\sin(x)+b\cos(x)+c) \]
 poss\`ede une primitive de la forme 
 \[ \Phi_{\alpha}(x)=e^{\alpha x}(A\sin(x)+B\cos(x)+C)  \] 
 avec $A,B,C \in \R$. 
Montrer que
\[
\begin{pmatrix}
A\\B\\C 
\end{pmatrix}
=M^{-1} \begin{pmatrix}
a\\b\\c 
\end{pmatrix}
\enspace.\]
\item On suppose $\alpha>0$. Montrer, pour tout r\'eel $x$, la convergence de l'int\'egrale
\[F_{\alpha}(x)=\int_{-\infty}^{x}te^{\alpha t}\left(a\sin(t)+b\cos(t)+c\right)dt\enspace.\]
\item Montrer que $F_{\alpha}$ s'\'ecrit sous la forme suivante
\[F_{\alpha}(x)=e^{\alpha x}\left((xA-A')\sin(x)+(xB-B')\cos(x)+(xC-C')\right)\enspace,\]
et exprimer les constantes $A',B',C'$ en fonction de $a,b,c$ et $(M^{-1})^{2}$.
\end{enumerate}


%% Planche 9

\nnewpage

\noindent
On d\'efinit trois suites r\'eelles $(u_n)_{n \in \N}$, $(v_n)_{n \in \N}$ et $(w_n)_{n \in \N}$ par :
\[\begin{pmatrix}
u_0\\v_0\\w_0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1\\1\\-1
\end{pmatrix}
\quad \mbox{et} \quad \forall n\in\N \, , \quad 
\begin{pmatrix}
u_{n+1}\\v_{n+1}\\w_{n+1}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2u_{n}+3v_n-3w_n\\-u_n+w_n\\-u_n+v_n
\end{pmatrix}\enspace.\]
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer une matrice $A$ telle que :
\[\forall n\in\N \, ,\quad \begin{pmatrix}
u_{n+1}\\v_{n+1}\\w_{n+1}
\end{pmatrix}=A \begin{pmatrix}
u_{n}\\v_{n}\\w_{n}
\end{pmatrix}\enspace.\]
\item Pour tout entier $n \geq 0$, exprimer $ \begin{pmatrix}
u_{n}\\v_{n}\\w_{n}
\end{pmatrix}$ en fonction de $\begin{pmatrix}
u_0\\v_0\\w_0
\end{pmatrix}$, $A$ et $n$.
\item  Montrer que $A$ est diagonalisable et pr\'eciser ses sous-espaces propres.
\item En d\'eduire les expressions de $u_n$, $v_n$ et $w_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel~$n$.
\end{enumerate}

\newpage

\noindent Soient $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3 $ des variables al\'eatoires \`a valeurs dans $\set{-1,1}$. On note 
\[ 
p = \Proba\paren{ \varepsilon_1 = 1} \qquad 
q = \Proba\paren{ \varepsilon_2 = 1} \quad \mbox{et} \quad
r = \Proba\paren{ \varepsilon_3 = 1}
\enspace .
\]
%
\begin{enumerate}
%
\item On suppose, dans cette question seulement, que $\varepsilon_1$ et $\varepsilon_2$ sont ind\'ependantes. D\'eterminer la loi de leur produit $\varepsilon_1 \varepsilon_2 \,$.
%
\item \`A quelle condition sur $p,q \in [0,1]$ est-il possible de construire deux variables al\'eatoires $X,Y$, \`a valeurs dans $\set{-1,1}$, telles que $Y=\varepsilon_1 X$ et $X=\varepsilon_2 Y\,$? \\
Dans le cas o\`u c'est possible, quelles sont les lois jointes possibles pour $(\varepsilon_1, \varepsilon_2)$?
%
\item Pour des valeurs fix\'ees de $p,q \in [0,1]$, quel est l'ensemble des lois possibles pour le produit $\varepsilon_1 \varepsilon_2 \,$?
%
\item \`A quelle condition sur $p,q,r \in [0,1]$ est-il possible de construire trois variables al\'eatoires $X,Y,Z$, \`a valeurs dans $\set{-1,1}$, telles que $Y=\varepsilon_1 X$, $Z=\varepsilon_2 Y$ et $X=\varepsilon_3 Z\,$?
%
\end{enumerate}

%% Planche 10 

\nnewpage

\noindent Pour tout $\theta \in \R\,$, on d\'efinit la matrice $2 \times 2$ suivante:
\[ R_{\theta} = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & - \sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix} \enspace . \]


\begin{enumerate}
%
\item Soient $\theta,\theta^{\prime} \in \R$. Calculer l'image par $R_{\theta}$ du vecteur 
\[ X_{\theta^{\prime}} = \begin{pmatrix} \cos(\theta^{\prime}) \\ \sin(\theta^{\prime}) \end{pmatrix} \]
puis repr\'esenter graphiquement $X_{\theta^{\prime}}$ et $R_{\theta} X_{\theta^{\prime}}$. 
%
\item Montrer que pour tous $\theta,\theta^{\prime} \in \R\,$, $R_{\theta} R_{\theta^{\prime}} = R_{\theta + \theta^{\prime}}\,$, 
%
puis que $R_{\theta}$ est inversible, d'inverse \'egal \`a 
\[ R_{-\theta} = \transpose{R_{\theta}} \enspace . \]
%
\item Pour tout $\theta \in \R\,$, d\'eterminer les valeurs propres r\'eelles de $R_{\theta}$ et les vecteurs propres correspondants. Pour quelles valeurs de $\theta$ la matrice $R_{\theta}$ est-elle diagonalisable dans $\R$?
%
\item Soit $X \in \R^2$ fix\'e et $Y_{\theta} = R_{\theta} X\,$. D\'eterminer 
\[ \max_{\theta \in \R} \set{ \absj{\paren{Y_{\theta}}_1} + \absj{\paren{Y_{\theta}}_2} } \]
puis 
\[ \min_{\theta \in \R} \set{ \absj{\paren{Y_{\theta}}_1} + \absj{\paren{Y_{\theta}}_2} } \]
%
et comparer leurs valeurs \`a 
\[ \sqrt{ X_1^2 + X_2^2 } \enspace . \]
%
\end{enumerate}

\newpage

\noindent
Soient $n$ et $p$ des entiers non nuls et $k$ un entier tel que $0\leq k\leq n+p$. On convient que le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ est nul si $k>n$ ou si $k<0$. Le but de l'exercice est de calculer la somme 
\[ S = \sum_{\ell=0}^{k}\binom{n}{\ell}\binom{p}{k-\ell} \] de diff\'erentes mani\`eres.
%
\begin{enumerate}
 \item Utiliser la formule du bin\^ome dans l'identit\'e $(1+x)^{n+p}=(1+x)^{n}(1+x)^{p}$ puis d\'eterminer $S$.
%
\item Soient $X_{1},\ldots,X_{n+p}$ des variables al\'eatoires ind\'ependantes et de m\^eme loi de Bernoulli de param\`etre $1/2$. D\'eterminer la loi de $S_{n+p}:= \sum_{i=1}^{n+p}X_{i}$, de $S_{n}\:= \sum_{i=1}^{n}X_{i}$ et de $S_{p}^{\prime}:= \sum_{i=n+1}^{n+p}X_{i}$. Calculer alors $\mathbb{P}\left(S_{n+p}=k\right)$ directement puis en d\'ecomposant cet \'ev\'enement selon les valeurs possibles de $S_{n}$.
%
\item Un ensemble $\mathcal{E}$ est la r\'eunion de deux ensembles disjoints $\mathcal{E}_{1}$ et $\mathcal{E}_{2}$ avec $\card(\mathcal{E}_{1})=n$ et $\card(\mathcal{E}_{2})=p$. 
D\'eterminer le nombre de sous-ensembles de $\mathcal{E}$ \`a $k$ \'el\'ements. 
D\'eterminer pour tout $\ell \in \set{ 0 , \ldots, k}$ le nombre de parties de $\mathcal{E}$ \`a $k$ \'el\'ements contenant exactement $\ell$ \'el\'ements de $\mathcal{E}_{1}$. Conclure.

\item Calculer $\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^2$.
 \end{enumerate}

%% Planche 11

\nnewpage

On pose $u_1=0$ et, pour tout $n\geq 2$, 
\[u_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\;.\]
\begin{enumerate}
\item Donner un \'equivalent de $u_{2n}+u_{2n+1}$ lorsque $n$ tend vers l'infini.
\item La s\'erie $\sum_{n \geq 1} u_n$ est-elle convergente?
\item Pour tout $n\geq 1$, on pose $v_n = \ln(1+u_n)-u_n$. Donner un \'equivalent de $v_n$ lorsque $n$ tend vers l'infini.
\item La suite de terme g\'en\'eral $w_n = \prod_{k=1}^n (1+u_k)$ est-elle convergente?
\end{enumerate}

\newpage

\noindent Soit $n \geq 1$ un entier. 
Une classe de troisi\`eme du coll\`ege Pablo Picasso comprend $2n$ filles et $2n$ gar\c{c}ons. 
Le professeur principal est charg\'e de constituer $2n$ bin\^omes, et d\'ecide de le faire al\'eatoirement, en choisissant les bin\^omes uniform\'ement parmi toutes les possibilit\'es. \\
Ind\'ependamment, le professeur de physique constitue $n$ groupes de quatre pour des s\'eances de travaux pratiques, \'egalement en proc\'edant \`a un choix al\'eatoire, uniforme parmi l'ensemble des possibilit\'es. 
%
%
\begin{enumerate}
%
\item Antoine et Charlotte souhaiteraient \^etre en bin\^ome. Quelle est la probabilit\'e que cela se produise? 
\\
Quelle est la probabilit\'e qu'ils soient dans le m\^eme groupe de quatre? 
Et qu'ils soient simultan\'ement dans le m\^eme bin\^ome et le m\^eme groupe de quatre? 
%
\item Combien y a-t-il de mani\`eres de constituer $2n$ bin\^omes mixtes (c'est-\`a-dire, un gar\c{c}on et une fille)? \\
Quelle est la probabilit\'e que chaque bin\^ome choisi par le professeur principal soit constitu\'e d'un gar\c{c}on et d'une fille?
%
\item Combien y a-t-il de mani\`eres de choisir les $n$ groupes de quatre? \\
Quelle est la probabilit\'e que chaque groupe de quatre soit constitu\'e de deux gar\c{c}ons et deux filles? 
\end{enumerate}

%% Planche 12

\nnewpage

\begin{enumerate}
%
\item Pour quelles valeurs de $x \in \R$ la s\'erie \[ \sum_{n \geq 1} e^{-n^2 x} \] converge-t-elle? On notera $D$ l'ensemble de ces valeurs. 
%
\item Pour tout $x \in D$, on pose 
\[ f(x) = \sum_{n = 1}^{+\infty} e^{-n^2 x} \enspace . \]
Encadrer $f(x)$ \`a l'aide de 
\[ \int_a^b e^{-t^2 x} dt \]
pour des bornes d'int\'egration $a$ et $b$ (\'eventuellement infinies) bien choisies. 
%
\item Donner un \'equivalent de $f(x)$ lorsque $x \in D$ tend vers z\'ero. 
%
\end{enumerate}

\newpage

\noindent 
Alice joue au jeu de hasard suivant: \\
On fixe un entier $M \geq 2$. \\
{\bf Initialisation} (\'etape 0): un nombre $X_0$ est choisi al\'eatoirement, avec une loi uniforme sur $\set{1, \ldots, M}$, et r\'ev\'el\'e \`a Alice. 
\\
{\bf \'Etape $k \geq 1$}: Alice choisit parmi ``$+$'', ``$-$'' et ``Stop''. 
\begin{itemize}
\item Si Alice a choisi ``Stop'', le jeu s'arr\^ete et Alice gagne $k$.
\item Sinon, un nombre $X_k$ est choisi al\'eatoirement, avec une loi uniforme sur $\set{1, \ldots, M}$, et r\'ev\'el\'e \`a Alice. 
\begin{itemize}
\item Si Alice a choisi ``$+$'' et que $X_k \leq X_{k-1}$, le jeu s'arr\^ete et Alice a perdu (elle gagne $0$). 
\item Si Alice a choisi ``$-$'' et que $X_k \geq X_{k-1}$, le jeu s'arr\^ete et Alice a perdu (elle gagne $0$). 
\item Sinon, le jeu continue \`a l'\'etape $k+1$. 
\end{itemize}
\end{itemize}
%
On pourra \'eventuellement utiliser sans les d\'emontrer les formules suivantes, valables pour tout entier $n \geq 1$: 
%
\[ \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} \qquad \mbox{et} \qquad \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \enspace . \]
%
\begin{enumerate}
%
\item Donner l'esp\'erance et la variance de $X_0$. 
\item Sachant que le jeu arrive \`a l'\'etape $k$, que $X_{k-1} = a \in \set{1, \ldots, M-1}$ et qu'Alice choisit ``$+$'' \`a l'\'etape $k$: quelle est la probabilit\'e pour Alice de perdre \`a l'\'etape $k$? 
quelle est son esp\'erance de gain (en supposant qu'elle a pr\'evu de choisir ``Stop'' \`a l'\'etape $k+1$)? 
%
\item En d\'eduire la strat\'egie optimale pour Alice, en vue de maximiser son esp\'erance de gain. \\
Calculer son esp\'erance de gain avec cette strat\'egie lorsque $M=2$, puis $M=3$. 
%
\item Alice joue \'egalement parfois \`a une variante de ce jeu, o\`u le jeu continue toujours lorsque $X_k = X_{k-1}\,$. Refaire les questions (2) et (3) avec cette variante. 
%
\end{enumerate}

%% Planche 13

\nnewpage

\noindent 
%
%
\begin{enumerate}
%
\item D\'eterminer un \'equivalent lorsque $n$ tend vers l'infini de \[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \enspace . \]
\item D\'eterminer un \'equivalent lorsque $n$ tend vers l'infini de \[ \sum_{k=2}^n \frac{1}{k \ln(k)} \enspace . \]
\item En fonction de $\alpha,\beta \in \R$, la s\'erie de terme g\'en\'eral $(k^{\alpha} (\ln(k))^{\beta})_{k \geq 2}$ converge-t-elle? 
%
\end{enumerate}

\newpage

\noindent Soit $a  \in \R$ et $\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_n, \ldots$ une suite de variables al\'eatoires ind\'ependantes et de m\^eme distribution. On suppose que pour tout entier $i$, 
\[ \E\croch{\varepsilon_i} = 0 \quad \mbox{et} \quad \E\croch{\varepsilon_i^2} = 1 \enspace . \]
%
On d\'efinit alors la suite $(X_k)_{k \in \N}$ par $X_0 =0$ et la relation de r\'ecurrence 
\[ X_{k+1} = a X_k + \varepsilon_{k+1} \enspace . \] 
%
On observe $Y_1, \ldots, Y_n$ avec $Y_i = \mu + X_i$ pour un r\'eel $\mu$ inconnu. On s'int\'eresse \`a l'estimation de $\mu$. 
%
%
\begin{enumerate}
%
\item Montrer que pour tout entier $n \geq 1$, 
\[ X_n = \varepsilon_n + a \varepsilon_{n-1} + a^2 \varepsilon_{n-2} + \cdots + a^{n-1} \varepsilon_1 \enspace . \]
%
\item Soit 
\[ \widehat{\mu}_n^{(1)} = \frac{Y_1 + \cdots + Y_n}{n} \enspace . \]
Est-ce un estimateur sans biais de $\mu$? 
%
\item Calculer la variance de $\widehat{\mu}_n^{(1)}$ en fonction de $n$. 
%
\item On propose l'estimateur 
\[ \widehat{\mu}_n^{(2)} = \frac{Y_1 + \cdots + Y_{n-1}}{n+1} + \frac{2 Y_n}{n+1} \enspace . \]
Est-ce un estimateur sans biais de $\mu$? Calculer sa variance. 
%
\item Plus g\'en\'eralement, soit 
\[ \widehat{\mu}_n(c_1, \ldots, c_n) = c_1 Y_1 + \cdots + c_n Y_n \enspace .  \]
\`A quelle condition sur les $c_i$ est-ce un estimateur sans biais de $\mu$? \\
En supposant $n=2$, d\'eterminer $c_1,c_2$ tels que $\widehat{\mu}_n(c_1,c_2)$ est sans biais et de variance minimale.
%
\end{enumerate}

%% Planche 14

\nnewpage

\noindent On note $\mathcal{E}$ l'ensemble des fonctions $f: \R \to \R$, continues (sauf \'eventuellement en un nombre fini de points), et telles qu'il existe $a,b \in \R$ tels que pour tout $x \in \R\backslash [a,b]$, $f(x)=0$. \\
Pour tout $f,g \in \mathcal{E}$, on d\'efinit la fonction $f \star g : \R \to \R$ par 
\[ \forall x \in \R \, , \quad (f \star g)(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) g(x-t) dt \enspace . \]
%
%
\begin{enumerate}
%
\item Soit $f_0$ la fonction qui vaut $1/2$ sur l'intervalle $[-1,1]$ et $0$ ailleurs. Calculer $f_1 = f_0 \star f_0$, puis $f_2= f_1 \star f_0$. 
%
\item Montrer que pour tout $f,g \in \mathcal{E}$, $f \star g$ est bien d\'efinie sur $\R$, et qu'il existe $a,b \in \R$ tels que pour tout $x \in \R\backslash [a,b]$, $(f\star g)(x)=0$. 
%
\item Soit $f,g \in \mathcal{E}$ telles que $g$ est contin\^ument d\'erivable, montrer que $f\star g$ est continue. 
\indic{Pour tout $x,y \in \R$, montrer que $\absj{ (f\star g) (x) - (f\star g) (y) } \leq C \absj{x-y}$ pour une constante $C \in \R$ \`a pr\'eciser. }
%
\end{enumerate}

\newpage

\noindent Parmi les 72 parlementaires europ\'eens repr\'esentant la France, on compte 33 femmes. 
En Finlande, 8 parlementaires europ\'eens sur 13 sont des femmes. 
En Lettonie, 3 sur 8 sont des femmes. 
Dans chacun de ces cas, peut-on parler de parit\'e? 

On mod\'elise la situation comme suit: 
$X_1, \ldots, X_n$ sont des variables al\'eatoires ind\'ependantes et de m\^eme loi, \'egales \`a F avec probabilit\'e $p \in \, ]0,1[$, \`a H avec probabilit\'e $1-p$. \`A partir de l'observation de $X_1, \ldots, X_n$, on cherche \`a estimer $p$. 
%
\begin{enumerate}
%
\item Faire le lien entre la question initiale et la mod\'elisation math\'ematique propos\'ee. 
%
\item On note $F_n = \card\set{ i \in \set{1, \ldots, n} \, / \, X_i = F}$. Quelle est la loi de $F_n\,$?
%
\item Proposer un estimateur de $p$. Calculer son biais, sa variance. Pr\'eciser son comportement lorsque $n$ tend vers l'infini. 
%
\item Construire un intervalle de confiance (asymptotique) pour $p$ de probabilit\'e de couverture $1-\alpha$, avec $\alpha \in \,] 0,1[\,$. \\
%
\`A l'aide du tableau ci-dessous, que dire du niveau de parit\'e aux  \'elections europ\'eennes de 2009, en fonction des pays? On pourra utiliser une probabilit\'e de couverture de $0.05$, et on rappelle que si $Z$ suit une loi normale centr\'ee r\'eduite, alors $\Proba(\absj{Z} \geq 1.96) \approx 0.05$. 
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tabular}{l@{\hspace{0.05\textwidth}}c@{\hspace{0.025\textwidth}}c@{\hspace{0.025\textwidth}}c@{\hspace{0.025\textwidth}}c@{\hspace{0.025\textwidth}}c@{\hspace{0.025\textwidth}}c}
Pays                     & Finlande & Su\`ede & Pays-Bas & France & Lettonie & Royaume-Uni \\
\noalign{\smallskip}
\hline
\noalign{\smallskip}
Nombre total d'\'elus    & 13       & 18      & 25       & 72     & 8        & 72   \\      
Nombre de femmes \'elues &  8       & 10      & 12       & 33     & 3        & 24   \\
Pourcentage de femmes    & 61,5     & 55,6    & 48       & 45,8   & 37,5     & 33,3 
\end{tabular} 
\end{center}

\noindent {\footnotesize Source: Observatoire de la parit\'e entre les femmes et les hommes - Fondation Robert Schuman, 15/07/09}

%% Planche 16

\nnewpage
\addtocounter{ctr}{1}

\noindent Soit $n \geq 1$ un entier, $\R[X]$ l'ensemble des polyn\^omes \`a coefficients r\'eels, et $\R_n[X]$ l'ensemble des polyn\^omes \`a coefficients r\'eels de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a $n$. 

\noindent Soit $\varphi: \R[X] \to \R[X]$ d\'efinie par $\varphi(P) = P + P^{\prime}$ pour tout $P \in \R[X]$, et $\varphi_n : \R_n[X] \to \R_n[X]$ d\'efinie par $\varphi_n(P) = \varphi(P)$ pour tout $P \in \R_n[X]\,$. 
%
\begin{enumerate}
%
\item Montrer que $\varphi_n$ est une application lin\'eaire, et \'ecrire sa matrice $A_n$ dans la base canonique de $\R_n[X]\,$. 
%
\item D\'eterminer le noyau et l'image de $\varphi_n\,$. \\
La matrice $A_n$ est-elle inversible? Si oui, calculer son inverse. 
%
\item D\'eterminer le noyau et l'image de $\varphi\,$. L'application $\varphi$ est-elle un isomorphisme? 
%
\item Soit $\psi:  \R[X] \to \R[X]$ l'application d\'efinie par $\psi(P)= P^{\prime} + P^{\prime\prime}$ pour tout $P \in \R[X]$. Est-elle surjective? Est-ce un isomorphisme? 
%
\end{enumerate}

\newpage

\noindent
 On consid\`ere, pour tout $n\geq 1$, les fonctions $f_{n}$ et $g_n$ d\'efinies sur $]0,\frac{\pi}2]$ par
 \[f_{n}(x)=\frac{\sin^{2}(nx)}{\sin^{2}(x)} \qquad \mbox{et} \qquad g_n(x)=\frac{\sin(2nx)\cos(x)}{\sin(x)}\enspace. \]
\begin{enumerate}
 \item Montrer que les int\'egrales $\int_{0}^{\pi/2}f_{n}(t)dt$ et $\int_0^{\pi/2}g_n(t)dt$ sont convergentes.
 \item Montrer que, pour tout $x\in[0,\pi/2]$, on a \[ \frac{x}{2} \leq \sin(x)\leq x \enspace . \]
 \item On d\'efinit, pour tout $n\geq 1$, \[ u_{n}= \int_{0}^{\pi/2}f_{n}(t)dt \enspace . \] D\'eduire de la question pr\'ec\'edente que $u_{n}\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}+\infty$.
 \item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$ et de $v_{n}$, o\`u
 \[v_n=\int_0^{\pi/2}g_{n}(t)dt\enspace.\]
\item D\'eterminer une formule de r\'ecurrence pour $v_n$.
En d\'eduire un \'equivalent de $u_{n}$ quand $n\to \infty$.
\end{enumerate}

%% Planche 17

\nnewpage

\noindent Soit $K,n \geq 1$ des entiers et $X_0, X_1, \ldots, X_n$ des variables al\'eatoires ind\'ependantes et de m\^eme loi uniforme sur l'ensemble $\set{1, \ldots, K}$. 

\begin{enumerate}
\item Soit $S \subset \set{1, \ldots, K}$. Donner la valeur de $\Proba(X_0 \in S)$ en fonction de $\card(S)$. 
\item Soit $z \in \set{1, \ldots, K}$. Calculer $\Proba\paren{ X_1 \neq z \, , \, \ldots \, , \, X_n \neq z }$. 
\item Calculer $\Proba(X_0 \notin \set{X_1, \ldots, X_n})$ de deux mani\`eres pour en d\'eduire une expression de $\E\croch{ \card\set{X_1, \ldots, X_n}}$. 
\item D\'eterminer un \'equivalent de $\E\croch{ \card\set{X_1, \ldots, X_n}}$ lorsque: 
\begin{enumerate}[(i)]
\item $K$ est fixe et $n \to +\infty$, 
\item $n$ est fixe et $K \to +\infty$, 
\item $n=K \to +\infty$. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\noindent On note $\R[X]$ l'ensemble des polyn\^omes \`a coefficients r\'eels, et pour tout $P \in \R[X]$, on note $P^{\prime} \in \R[X]$ sa d\'eriv\'ee. 
%
%
\begin{enumerate}
%
\item D\'eterminer \[ \set{ P \in \R[X] \, / \, P = P^{\prime} \paren{ \frac{X^2}{2} } } \enspace . \]
%
\item D\'eterminer \[ \set{ P \in \R[X] \, / \, P = \paren{ P^{\prime} }^3 } \enspace . \]
%
\item D\'eterminer \[ \set{ P \in \R[X] \, / \, P = \paren{ P^{\prime} }^2 } \enspace . \]
%
\item D\'eterminer \[ \set{ P \in \R[X] \, / \, \exists Q \in \R[X] \, , \, P = P^{\prime} \circ Q } \enspace . \]
%
\item D\'eterminer \[ \set{ P \in \R[X] \, / \, \exists Q \in \R[X] \, , \, P = Q \circ P^{\prime} } \enspace . \]
%
\end{enumerate}

%% Planche 18

\nnewpage

Soit $f: \R \to \R$ une fonction continue born\'ee, et soit $(a_n)_{n \in \N}$ une suite de r\'eels strictement positifs telle que 
\[ \lim_{n \to +\infty} a_n = 0 \enspace . \]
%
\begin{enumerate}
 \item Montrer, pour tout entier $n \geq 0$, la convergence de l'int\'egrale
 \[I_{n}=\int_{0}^{+\infty}\frac{a_{n}f(x)}{a_{n}^{2}+x^{2}}dx\enspace.\]
 \item Justifier que, pour tout $M>0$, on a 
 \[I_{n}=\int_{0}^{+\infty}\frac{f(0)}{1+u^{2}}du+\int_{0}^{M}\frac{f(a_{n}u)-f(0)}{1+u^{2}}du+\int_{M}^{+\infty}\frac{f(a_{n}u)-f(0)}{1+u^{2}}du\enspace.\]
 \item En d\'eduire que $I_{n}$ converge lorsque $n$ tend vers l'infini vers une limite $I_{\infty}$ que l'on calculera.
\end{enumerate}

\newpage

\noindent Soit $n \geq 1$ un entier fix\'e. Pour tous $k,\ell \geq 1$ entiers, on note $\M_{k, \ell}(\R)$ l'ensemble des matrices \`a coefficients r\'eels \`a $k$ lignes et $\ell$ colonnes et $\M_{\ell}(\R) = \M_{\ell,\ell}(\R)$. 

\noindent Pour tout entier $k \geq 1$, on d\'efinit 
\[ E_k = \set{ M N \, / \, M \in \M_{n , k}(\R) \, , \, N \in \M_{k , n}(\R)} \enspace . \]

\begin{enumerate}
%
\item D\'eterminer l'ensemble $\mathcal{R}_1$ des valeurs possibles pour le rang de $P \in E_1$. 
%
\item En fonction de $n$, $E_1$ est-il un espace vectoriel? 
%
\item Soit $r \in \mathcal{R}_1$. Toute matrice de rang $r$ appartient-elle \`a $E_1\,$?
%
\item G\'en\'eraliser les trois questions pr\'ec\'edentes en rempla\c{c}ant $E_1$ par $E_k$ et $\mathcal{R}_1$ par $\mathcal{R}_k$, avec $k \geq 2$. 
%
\item Pour tous $j,k \geq 1$ entiers, soit 
\[ F_{j,k}  = \set{ M_1 + M_2 + \cdots + M_j \, / \, M_1, \ldots, M_j \in E_k } \enspace . \]
Pour quels couples $(j,k)$ a-t-on $F_{j,k} = \M_n(\R)\,$? 
Pour quels couples $(j,k)$ l'ensemble $F_{j,k}$ est-il un espace vectoriel? 
\end{enumerate}

%% Planche 19

\nnewpage

\noindent Soient $n,k \geq 1$ des entiers. On note $\R[X]$ l'ensemble des polyn\^omes \`a coefficients r\'eels, et pour tout entier $j \geq 0$, $\R_j[X]$ l'ensemble des polyn\^omes $P \in \R[X]$ de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a $j$. 
%
%
\begin{enumerate}
%
\item Soit $\varphi_k: \R_k[X] \to \R^{k+1}$ l'application d\'efinie par 
\[ \forall P \in \R_k[X] \, , \quad \varphi_k(P)=(P(0), P^{\prime}(0), \ldots, P^{(k)}(0)) \enspace , \]
o\`u $P^{(k)}$ d\'esigne la d\'eriv\'ee d'ordre $k$ du polyn\^ome $P$. 
%
Montrer que $\varphi_k$ est une application lin\'eaire, puis d\'eterminer son noyau et son image. 
%
\item L'application $\varphi_k$ est-elle un isomorphisme? Si c'est possible, d\'eterminer son inverse. 

\item Soit $\psi_{k,n}: \R_n[X] \to \R^{k+1}$ l'application d\'efinie par 
\[ \forall P \in \R_n[X] \, , \quad 
\psi_{k,n}(P)=(P(0), P(1), \ldots, P(k)) \enspace . \] 
Montrer que $\psi_{k,n}$ est une application lin\'eaire, puis d\'eterminer son noyau et son image, en fonction de $k$ et $n$. 
Est-ce un isomorphisme? 
%
\end{enumerate}

\newpage

\noindent Soit $n \geq 2$ un entier et $f_n : \R^n \to \R$ la fonction d\'efinie par $f_n(x_1, \ldots, x_n)=x_1 x_2 \cdots x_n$ pour tout $(x_1, \ldots, x_n) \in \R^n\,$. 
%
%
\begin{enumerate}
%
\item Montrer que pour tous $x,y \geq 0$, $\sqrt{xy} \leq \frac{x+y}{2}$. En d\'eduire que sur
\[ \mathcal{E}_2 = \set{ (x,y) \in [0,+\infty[\,^2 \, / \, x+y = 1 } \enspace , \]
$f_2$ atteint son maximum en un point que l'on d\'eterminera. 
%
\item Montrer que pour tout $(x_1, \ldots, x_n) \in [0,+\infty[\,^n$, 
\[ f_n(x_1, \ldots, x_n) \leq f_n \paren{ \frac{x_1+x_2}{2} ,  \frac{x_1+x_2}{2}  , x_3, \ldots, x_n } \enspace .\]
%
\end{enumerate}
%
On d\'efinit l'ensemble \[ \mathcal{E}_n = \set{ (x_1, \ldots, x_n) \in [0,+\infty[\,^n \, / \, x_1 + \dots + x_n = 1 } \enspace . \]
%
\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{2}
\item On suppose, dans cette question seulement, que $n=2^k$ pour un entier $k \geq 1$. \`A l'aide de la question (2), montrer que $f_n$ atteint son maximum sur $\mathcal{E}_n$ en un point que l'on d\'eterminera. 
%
\item En d\'eduire une in\'egalit\'e entre $\absj{x_1 \cdots x_n}^{1/n}$ et $(\absj{x_1} + \dots + \absj{x_n})/n$ pour tous $(x_1, \ldots, x_n) \in \R^n\,$. 
\indic{On pourra commencer par consid\'erer le cas o\`u $n=2^k$ pour un entier $k \geq 1$, avant de g\'en\'eraliser l'in\'egalit\'e. }
%
\end{enumerate}



\end{document}
