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\newcommand{\croch}[1]{\left[ \left. #1 \right. \right]} 
\newcommand{\set}[1]{\left\{ \left. #1 \right. \right\}}
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%%% Définition de \RedeclareMathOperator
\makeatletter
\newcommand\RedeclareMathOperator{%
  \@ifstar{\def\rmo@s{m}\rmo@redeclare}{\def\rmo@s{o}\rmo@redeclare}%
}
% this is taken from \renew@command
\newcommand\rmo@redeclare[2]{%
  \begingroup \escapechar\m@ne\xdef\@gtempa{{\string#1}}\endgroup
  \expandafter\@ifundefined\@gtempa
     {\@latex@error{\noexpand#1undefined}\@ehc}%
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% This is just \@declmathop without \@ifdefinable
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\@onlypreamble\RedeclareMathOperator
\makeatother
%%%%

\DeclareMathOperator{\im}{Im}
\RedeclareMathOperator{\ker}{Ker}


\def\Card{\mathrm{Card}}
\def\card{\mathrm{card}}
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\def\Tr{\mathrm{Tr}}



\theoremstyle{definition}

\newcounter{ctr}

\newcommand{\nnewpage}{\newpage \addtocounter{ctr}{1} }

\newcommand{\indic}[1]{\ \\ \noindent {\it Indication: #1}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\fancyhead[CO,CE]{\normalfont\small Planche \arabic{ctr}}
\fancyhead[LO,RE]{}
\fancyfoot[RO,LE]{}
\fancyhead[RO,LE]{}
\fancyfoot[CE,CO]{
\normalfont\small \hspace{-0.086cm}\'Epreuves orales de mathématiques 2016, concours d'entrée à l'\'Ecole Normale Supérieure, voie B/L
}


%%
\newtheorem{exo}{Exercice}
%%

\begin{document}

\newpage
\setcounter{ctr}{1}
\thispagestyle{fancy}
\pagestyle{fancy}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}


\pagebreak
\setcounter{exo}{0}







%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Planche 1
%%%%

Vous traiterez les exercices suivants et les présenterez {tous deux}, dans l'ordre de votre choix.
Le temps de préparation est d'une heure~; l'interrogation durera une demi-heure environ.

Au début de l'interrogation, vous disposerez de dix minutes au maximum pour présenter vos résultats, sans intervention du jury (vous pouvez utiliser moins de dix minutes si vous le souhaitez). 
Nous vous encourageons à ne pas recopier l'intégralité de vos calculs, mais plut\^ot à vous concentrer sur les points cruciaux de votre raisonnement. 
%
Le jury reviendra ensuite sur les questions qu'il souhaitera approfondir, y compris éventuellement celles que vous n'auriez pas eu le temps d'aborder pendant la préparation. Il vous donnera  le cas échéant des indications.
\bigskip
\bigskip






\begin{exo} Une matrice $A \in M_{n}(\R)$ est dite nilpotente s'il existe un entier $i \geq 1$ tel que $A^{i}=0$. L'indice de nilpotence d'une matrice nilpotente $A$ est le plus petit entier $k \geq 1$ tel que $A^{k}=0$.

Soit $A$ une matrice nilpotente de $M_{n}(\R)$. Le but de cet exercice est de montrer que $A^{n}=0$. Pour cela, on note $k$  l'indice de nilpotence de $A$.
\begin{enumerate}
\item[(1)]  Si $k \leq n$, montrer que $A^{n}=0$.

 On suppose maintenant que $k>n$. 

\item[(2)] Montrer que $A^{k-1} \neq 0$.
\item[(3)] Soit $X \not \in \ker(A^{k-1})$. Que dire de la famille $(X,AX, A^{2}X, \ldots, A^{k-1}X)$ ? Conclure que $k \leq n$.
\item[(4)] Soient $A,B \in M_{n}(\R)$. On suppose qu'il existe des nombres réels $c_{1}, \ldots, c_{n+1}$ tous différents tels que les matrices $A+c_{1}B, \ldots, A+c_{n+1} B$ soient toutes nilpotentes. Montrer que $A$ et $B$ sont nilpotentes.
\end{enumerate}
\end{exo}

\bigskip

\begin{exo}
Soit $n \geq 1$ un entier pair et soient $X,X_1,\ldots,X_{n}$ des variables al\'eatoires réelles discr\`etes, ind\'ependantes et de m\^eme loi. On suppose que $X$ admet une variance et on note $m=\Ex{X}$, $\sigma^2=\mathrm{Var}(X)$. Soit $d \geq 1$ un entier pair qui divise $n$. On considère une partition  $B_1,\ldots,B_{d}$ de $\{1,2,\ldots,n\}$ en sous-ensembles de taille $n/d$. Autrement dit, on suppose que:
$$B_i\cap B_j=\emptyset \textrm{ si }i \neq j, \qquad  \bigcup_{i=1}^d B_i= \{1,2, \ldots,n\},  \qquad \Card(B_{i})= \frac{n}{d} \textrm{ pour tout } 1 \leq i \leq d.$$
Finalement, on pose $Y_i=\frac{d}{n}\sum_{j\in B_i}X_j$ pour tout $1 \leq i \leq d$.
\begin{enumerate}[label={(\arabic{*})}]
 \item Montrer que pour tout $1 \leq i \leq d$, $\Ex{Y_{i}}=m$ et  $ \Var(Y_i)=\sigma^2\frac{d}n$.
 \item En d\'eduire que pour tout $1 \leq i \leq d$, 
$$\Pr{|Y_i-m|>2e\sigma\sqrt{\frac dn}}\le \frac1{(2e)^2}.$$
\emph{Pour une variable aléatoire positive $Y$ admettant une espérance, on pourra utiliser le fait que $\Pr{Y>t} \leq \frac{1}{t} \Ex{Y}$ pour tout $t>0$.}
\end{enumerate}

Pour $1 \leq i \leq d$, on considère la variable aléatoire $J_{i}$ qui vaut $1$ si $|Y_i-m|>2e\sigma\sqrt{\frac {d}{n}}$ et $0$ sinon.

\begin{enumerate}[label={(\arabic{*})},resume]
\item Soit $\widehat{m}_d$ une m\'ediane de $\{Y_1,\ldots,Y_d \}$, c'est-à-dire un r\'eel satisfaisant à
 $$\Card(\{1\le i\le d :  Y_i\le\widehat{m}_d \}) \ge \frac{d}{2},\qquad \Card(\{{1\le i\le d :  Y_i\ge\widehat{m}_d } \})\ge \frac{d}{2} .$$
 Montrer que 
 $$\Pr{|\widehat{m}_d-m|>2e\sigma\sqrt{\frac{d}{n}}}\le \Pr{\sum_{i=1}^d J_{i} \ge \frac{d}{2}}.$$
 \item Montrer que 
 $$\Pr{|\widehat{m}_d-m|>2e\sigma\sqrt{\frac{d}{n}}}\le e^{-d}.$$ \end{enumerate}
\end{exo}




%%%%
%% Planche 2
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\nnewpage
\setcounter{exo}{0}
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Vous traiterez les exercices suivants et les présenterez {tous deux}, dans l'ordre de votre choix.
Le temps de préparation est d'une heure~; l'interrogation durera une demi-heure environ.

Au début de l'interrogation, vous disposerez de dix minutes au maximum pour présenter vos résultats, sans intervention du jury (vous pouvez utiliser moins de dix minutes si vous le souhaitez). 
Nous vous encourageons à ne pas recopier l'intégralité de vos calculs, mais plut\^ot à vous concentrer sur les points cruciaux de votre raisonnement. 
%
Le jury reviendra ensuite sur les questions qu'il souhaitera approfondir, y compris éventuellement celles que vous n'auriez pas eu le temps d'aborder pendant la préparation. Il vous donnera  le cas échéant des indications.
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\begin{exo}~
\begin{enumerate}
\item[(1)] Montrer que, pour tout $x>0$, $$\ln(x)= \inf_{a \in ]0,+\infty[} \left(  \frac{x}{a}+\ln(a)-1 \right).$$
\item[(2)] Soient $f,g : [0,1] \rightarrow \R$ deux fonctions continues telles que $f(x)> 0$ et $g(x)>0$ pour tout $x \in [0,1]$. On suppose que $\int_{0} ^{1} f(t) dt=1$.
\begin{enumerate}
\item[(a)]  Montrer que
$$\int_{0}^{1} f(x) \ln(g(x)) \d x \leq \ln \left( \int_{0}^{1} f(x) g(x) \d x \right).$$
\item[(b)] On suppose que $\int_{0}^{1} g(x) \d x=1$. Montrer que 
$$\int_{0}^{1} f(x) \ln \left(  \frac{g(x)}{f(x)} \right)  \d x \leq 0.$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
On considère une variable aléatoire $X$ à densité sur $[0,1]$ et on note $g$ une densité de $X$. Si la variable aléatoire $\ln(g(X))$ admet une espérance, on dit que $X$ admet une entropie et on note
$$H(X)= -\Ex{\ln(g(X))},$$
appelée \emph{entropie} de $X$.
\begin{enumerate}
\item[(3)]  Soit $Y$ une variable aléatoire de densité $g(x)=e^{-c x}$ sur $[0,1]$ (avec $c>0$). Calculer $H(Y)$.
\item[(4)] Soit $X$ une variable aléatoire à densité sur $[0,1]$ avec une densité $f$ continue et strictement positive sur $[0,1]$. On suppose que $\Ex{X}=1$. Montrer que $$H(X) \leq H(Y).$$

\emph{Indication.} On pourra calculer
$$\int_{0}^{1} f(x) \ln(g(x)) \d x.$$
\end{enumerate}
\end{exo}

\bigskip

\begin{exo}Le but de cet exercice est de montrer qu'il n'est pas possible de truquer deux dés indépendants de fa\c con à ce que la somme des points obtenus en les lan\c cant indépendamment suive la loi uniforme sur l'ensemble $\{2,3,4, \ldots,12\}$.

Soient $U$ et $V$ deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $ \{1,2, \ldots,6\}$. Pour tout $1 \leq i \leq 6$, on pose $u_{i}=\Pr{U=i}$, $v_{i}=\Pr{V=i}$ et on suppose que $u_{i}>0$ et $v_{i}>0$.

\begin{enumerate}
\item[(1)] Si $U$ et $V$ suivent la loi uniforme sur $ \{1,2, \ldots,6\}$, est-ce que $U+V$ suit la loi uniforme sur $\{2,3,4, \ldots,12\}$?
\end{enumerate}

\noindent On note $S=U+V$ et on suppose que $S$ suit la loi uniforme sur $ \{2,3, \ldots,12\}$. 
  
\begin{enumerate}
\item[(2)] Montrer que $P(x)=\Ex{x^{S}}$ est un polynôme qu'on explicitera.
\item[(3)] Démontrer que $\Ex{x^{S}}=\Ex{x^{U}} \cdot \Ex{x^{V}}$.
\item[(4)] Démontrer qu'un polynôme à coefficients réels de degré impair admet au moins une racine réelle.
\item[(5)] Aboutir à une contradiction.
\end{enumerate}
\end{exo}



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%% Planche 3
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\setcounter{exo}{0}
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Vous traiterez les exercices suivants et les présenterez {tous deux}, dans l'ordre de votre choix.
Le temps de préparation est d'une heure~; l'interrogation durera une demi-heure environ.

Au début de l'interrogation, vous disposerez de dix minutes au maximum pour présenter vos résultats, sans intervention du jury (vous pouvez utiliser moins de dix minutes si vous le souhaitez). 
Nous vous encourageons à ne pas recopier l'intégralité de vos calculs, mais plut\^ot à vous concentrer sur les points cruciaux de votre raisonnement. 
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Le jury reviendra ensuite sur les questions qu'il souhaitera approfondir, y compris éventuellement celles que vous n'auriez pas eu le temps d'aborder pendant la préparation. Il vous donnera  le cas échéant des indications.
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\begin{exo}~
\begin{enumerate}
\item[(1)] Calculer la limite de $x^{x}$ lorsque $x \rightarrow 0$.
\item[(2)]Calculer
$$\lim_{n \rightarrow \infty} n^{2} \int_{0}^{1/n} x^{x+1} \d x.$$
\emph{Indication.} On pourra écrire $x^{x+1}=x^{x+1}-x+x$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\bigskip



\begin{exo}
Soit $n \geq 2$ un entier. On considère une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $ \{1,2, \ldots,n\}$. Pour tout $1 \leq i \leq n$, on note $p_{i}=\Pr{X=i}$ et on suppose que $p_{i}>0$. Pour tout $1 \leq i \leq n$, on définit la variable aléatoire $Y_{i}$ comme suit:
$$Y_{i} \quad  = \quad \begin{cases} \quad \frac{1}{\sqrt{p_{i}}} & \textrm{si } 	X=i, \\
\quad 0 & \textrm{sinon}.\end{cases}$$

\begin{enumerate}[label={(\arabic{*})}]
 \item Soit $1 \leq i \leq n$. Identifier la loi de $Y_{i}$, calculer son espérance et sa variance.
 \end{enumerate}
\noindent On note $m_{i}$ l'espérance de $Y_{i}$.
\begin{enumerate}[label={(\arabic{*})},resume]
 \item Calculer, pour $1 \leq i,j \leq n$ la valeur de $C_{i,j}=\Ex{(Y_i-m_i)(Y_j-m_j)}$.
 \end{enumerate}
\noindent  On note $V$ le vecteur colonne
 $$V=  \begin{pmatrix} \sqrt{p_{1}} \\ \vdots \\ \sqrt{p_n} \end{pmatrix} $$
 et $V^{\mathsf{T}}$ le vecteur ligne $V^{\mathsf{T}}= (\sqrt{p_{1}}, \ldots, \sqrt{p_{n}})$. On note finalement $C$ la matrice $C=(C_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n}$.
 \begin{enumerate}[label={(\arabic{*})},resume]
\item Montrer que $C=I_n-V V^{\mathsf{T}}$, o\`u $I_n$ est la matrice identit\'e de $M_{n}(\R)$.
\item Montrer que $C^2=C$. 
\item Montrer que $\R^n=\ker(C)\oplus \text{Im}(C)$. 
\item Donner une base de $\ker(C)$.
\item Montrer que $$\text{Im}(C)= \left\{ (y_{1}, \ldots, y_{n}) \in\R^n :\ \sum_{i=1}^ny_i\sqrt{p_i}=0 \right\}.$$
\end{enumerate}
\end{exo}

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%% Planche 4
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Vous traiterez les exercices suivants et les présenterez {tous deux}, dans l'ordre de votre choix.
Le temps de préparation est d'une heure~; l'interrogation durera une demi-heure environ.

Au début de l'interrogation, vous disposerez de dix minutes au maximum pour présenter vos résultats, sans intervention du jury (vous pouvez utiliser moins de dix minutes si vous le souhaitez). 
Nous vous encourageons à ne pas recopier l'intégralité de vos calculs, mais plut\^ot à vous concentrer sur les points cruciaux de votre raisonnement. 
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Le jury reviendra ensuite sur les questions qu'il souhaitera approfondir, y compris éventuellement celles que vous n'auriez pas eu le temps d'aborder pendant la préparation. Il vous donnera  le cas échéant des indications.
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\begin{exo}
Afin de rep\'erer les infractions au code de la route, la police est \'equip\'ee de nouveaux radars dont les performances ont pu \^etre longuement \'eprouv\'ees et valid\'ees. Il ressort de la batterie de tests effectu\'es que 
\begin{itemize}
 \item parmi les v\'ehicules d\'epassant les limites autoris\'ees, le radar d\'etecte les contrevenants dans $90\%$ des cas.
 \item parmi les v\'ehicules circulant \`a une vitesse inf\'erieure \`a la limite, le radar ne d\'etecte rien dans $95\%$ des cas.
\end{itemize}
On place le radar au bord de la rue Henri Barbusse et les v\'ehicules détectés par le radar re\c coivent une contravention. On note $p$ la proportion de v\'ehicules d\'epassant les limites autoris\'ees sur la rue Henri Barbusse.
\begin{enumerate}[label={(\arabic{*})}]
 \item D\'eterminer en fonction de $p$ la proportion de v\'ehicules en infraction parmi ceux ayant re\c cu une contravention. Pour quelles valeurs de $p$ cette proportion est-elle inf\'erieure \`a $50\%$?
 \item D\'eterminer en fonction de $p$ la proportion de v\'ehicules en infraction parmi ceux n'ayant pas re\c cu de contravention. La proportion de v\'ehicules en infraction peut-elle \^etre plus forte parmi les v\'ehicules ne recevant pas de contravention que parmi ceux en ayant re\c cu une? 
 \item D\'eterminer la probabilit\'e $f_{N,k}(p)$ que, parmi $N$ v\'ehicules observ\'es, $k$ re\c coivent une contravention.
 \item D\'eterminer la valeur $\widehat{p}_{N}(k)$ pour laquelle $f_{N,k}$ est maximale.
\end{enumerate}
\end{exo}


\bigskip

\begin{exo}Soit $f: \R_{+} \rightarrow \R$ une fonction dérivable telle que  $f(x) f(y) \leq f(xy)$ pour tout $x,y \geq 0$ et $f(1)=1$.
\begin{enumerate}
\item[(1)] Montrer que $f(x) \geq 0$ pour tout $x \geq 0$. 
\item[(2)] Montrer que $ f(x) \geq f(x^{1/n})^{n}$ pour tout $x>0$ et $n \geq 1$.
\item[(3)] En déduire qu'il existe un nombre réel $p \in \R$ tel que $f(x) \geq x^{p}$ pour tout $x \geq 0$.
\item[(4)] Montrer que $p \geq 0$.
\item[(5)] Montrer que $f(x)=x^{p}$ pour tout $x \geq 0$.
\end{enumerate}
\end{exo}

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%% Planche 5
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\nnewpage
\setcounter{exo}{0}
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Vous traiterez les exercices suivants et les présenterez {tous deux}, dans l'ordre de votre choix.
Le temps de préparation est d'une heure~; l'interrogation durera une demi-heure environ.

Au début de l'interrogation, vous disposerez de dix minutes au maximum pour présenter vos résultats, sans intervention du jury (vous pouvez utiliser moins de dix minutes si vous le souhaitez). 
Nous vous encourageons à ne pas recopier l'intégralité de vos calculs, mais plut\^ot à vous concentrer sur les points cruciaux de votre raisonnement. 
%
Le jury reviendra ensuite sur les questions qu'il souhaitera approfondir, y compris éventuellement celles que vous n'auriez pas eu le temps d'aborder pendant la préparation. Il vous donnera  le cas échéant des indications.
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\begin{exo}Soit $f : \R \rightarrow \R$ une fonction continue.  On pose $F(x)= \int_{0}^{x} f(t) dt$ pour tout $x \in \R$.
\begin{enumerate}
\item[(1)] Montrer que, pour tout $x \in \R$,
$$\frac{F(x+h)-F(x)}{h} - f(x)=  \frac{1}{h}\int_{x}^{x+h} {(f(t)-f(x)}) dt.$$
\item[(2)] Montrer que $F$ est dérivable et que $F'(x)=f(x)$ pour tout $x \in \R$.
\end{enumerate}
On suppose que $f(x+y)=f(x)+f(y)$ pour tous $x,y \in \R$.
\begin{enumerate}
\item[(3)] Soit $y_{0} \in \R^{*}$. Montrer que
$$f(x)= \frac{1}{y_{0}} \left( F(x+y_{0})-F(x)-  F(y_{0})\right) .$$
\item[(4)] Montrer que $f$ est dérivable.
\item[(5)] Montrer que $f$ est une fonction affine.
\end{enumerate}
\end{exo}

\bigskip


\begin{exo} Soit $n \geq 3$  un entier et $ p_{n} \in [0,1]$. Par définition, une arête est un ensemble de la forme $ \{i,j\}$ avec $i,j \in \{1,2, \ldots,n\}$ et $i \neq j$ ;  un triangle est un ensemble de la forme $ \{i,j,k\}$ avec $i,j,k \in \{1, \ldots,n\}$ et o\`u $i,j,k$ sont deux à deux différents. 
\begin{enumerate}[label={(\arabic{*})}]
\item Combien y a-t-il d'arêtes dans $\{1,\ldots,n\}$? Combien y a-t-il de triangles ? 
\end{enumerate}

On note $A$ l'ensemble des arêtes et $T$ l'ensemble des triangles. On considère des variables aléatoires $(X_{e})_{e \in A}$ indépendantes de même loi de Bernoulli de paramètre $p_{n}$. Si $X_{e}=1$, on colorie l'arête $e$, et si $X_{e}=0$, on ne colorie pas l'arête $e$. On dit qu'un triangle $t= \{i,j,k\} $ est colorié si ses trois arêtes $ \{i,j\}$,  $\{j,k\}$ et $ \{i,k\}$ sont coloriées. On note $N_{n}$ le nombre de triangles coloriés.

Pour tout triangle $t$, on considère la variable aléatoire $I_{t}$ qui vaut $1$ si $t$ est colorié et $0$ sinon.  

\begin{enumerate}[label={(\arabic{*})},resume]
\item Calculer $\Ex{I_t}$ et $\mathrm{Var}(I_{t})$ pour tout triangle $t$.
\item En remarquant que $N_{n}=\sum_{ t \in T} I_{t},$ calculer $\Ex{N_{n}}$.
\item On suppose que $n \cdot p_{n} \rightarrow 0$ lorsque $n \rightarrow \infty$. Montrer que $\Pr{N_{n}=0} \rightarrow 1$.\\
\emph{Indication : on commencera par montrer que, si $X$ est une variable aléatoire à valeurs dans $\N$ admettant une espérance, $\Pr{X\ge 1}\le \Ex{X}$.}
\item Soit $X$ une variable aléatoire positive qui admet une variance et telle que $\Ex{X}>0$. Montrer que $\Pr{X=0} \leq \frac{\mathrm{Var}(X)} {\Ex{X}^{2}}$.

\emph{Indication : on pourra utiliser l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, qui assure que si $X$ est une variable aléatoire réelle qui admet une variance, alors $\Pr{|X-\Ex{X}|  \geq \epsilon} \leq \frac{\mathrm{Var}(X)}{\epsilon^{2}}$ pour tout $\epsilon>0$.}
\item Montrer que le nombre de manières de choisir deux triangles $(t_{1},t_{2})$ tels que $t_{1}$ et $t_{2}$ ont exactement une arête en commun vaut $12\binom{n}{4}$.
\item Montrer que, si $t$ et $t'$ sont deux triangles qui partagent une seule arête commune, alors $\mathrm{Cov}(I_{t},I_{t'}) \leq p_{n}^{5}$.


\item On suppose que $n \cdot p_{n} \rightarrow \infty$ lorsque $n \rightarrow \infty$. Montrer que $\Pr{N_{n}=0} \rightarrow 0$.

\end{enumerate}
\end{exo}

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%% Planche 6
%%%% 
\nnewpage
\setcounter{exo}{0}
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Vous traiterez les exercices suivants et les présenterez {tous deux}, dans l'ordre de votre choix.
Le temps de préparation est d'une heure~; l'interrogation durera une demi-heure environ.

Au début de l'interrogation, vous disposerez de dix minutes au maximum pour présenter vos résultats, sans intervention du jury (vous pouvez utiliser moins de dix minutes si vous le souhaitez). 
Nous vous encourageons à ne pas recopier l'intégralité de vos calculs, mais plut\^ot à vous concentrer sur les points cruciaux de votre raisonnement. 
%
Le jury reviendra ensuite sur les questions qu'il souhaitera approfondir, y compris éventuellement celles que vous n'auriez pas eu le temps d'aborder pendant la préparation. Il vous donnera  le cas échéant des indications.
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\bigskip

\begin{exo}~
\begin{enumerate}
\item[(1)] Montrer que la matrice $\begin{pmatrix} 0 & b \\ b &0 \end{pmatrix}$ est diagonalisable pour tout $b \in \R$. 
\item[(2)] Montrer que la matrice  $\begin{pmatrix} a & b \\ b &0 \end{pmatrix}$ est diagonalisable pour tous $a,b \in \R$. 
\item[(3)] Soit $p \in ]0,1[$. Soient $A$ et $B$ deux variables aléatoires indépendantes telles que $\Pr{A=1}=\Pr{B=1}=p$ et $\Pr{A=-1}=\Pr{B=-1}=1-p$. Notons $V_{1} \leq V_{2}$ les deux valeurs propres de la matrice
$\begin{pmatrix} A & B \\ B &0 \end{pmatrix}$
Est-ce que $V_{1}$ et $V_{2}$ peuvent être indépendantes ?
\end{enumerate}
\end{exo}

\bigskip


\begin{exo} Pour tous entiers $a,b \geq 1$, on définit le polynôme $P_{a,b}(X)=X^{a-1}(1-X)^{b-1}$ et on pose
$$I_{a,b}= \int_{0}^{1} P_{a,b}(x) \d x.$$

\begin{enumerate}[label={(\arabic{*})}]
\item
\begin{enumerate} \item Calculer $I_{a,1}$.
 \item Exprimer $I_{a,b}$ en fonction de $I_{a+1,b-1}$ pour $a \geq 1$ et $b \geq 2$.
 \item En déduire que $I_{a,b}= \frac{(a-1) ! \cdot (b-1)!}{(a+b-1)!}$.
 \end{enumerate}
 \end{enumerate}
\noindent Soit $B_{a, b}$ une variable al\'eatoire dont la densit\'e sur $[0,1]$ est \'egale \`a $f_{a,b}(x)=\frac1{I_{a,b}}P_{a,b}(x)$.
\begin{enumerate}[label={(\arabic{*})},resume]
\item Montrer que $B_{a,b}$ admet une esp\'erance $E_{a,b}$ et une variance $V_{a, b}$, et calculer $E_{a,b}$, $V_{a, b}$.
\end{enumerate}

\noindent Soit $L>0$ et soit $f:[0,1]\to\R$ une fonction telle que $|f(x)-f(y)|\le L|x-y|$ pour tout $x, y \in [0,1]$.
\begin{enumerate}[label={(\arabic{*})},resume]
 \item Démontrer que $\Ex{Y}^{2} \leq \Ex{Y^{2}}$ pour toute variable aléatoire réelle $Y$ qui admet un moment d'ordre deux.
 \item Montrer que $$|f(E_{a,b})-\Ex{f(B_{a,b})}|\le L\sqrt{V_{a,b}}.$$
 \end{enumerate}
\end{exo}

%%%%
%% Planche 7
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\setcounter{exo}{0}
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Vous traiterez les exercices suivants et les présenterez {tous deux}, dans l'ordre de votre choix.
Le temps de préparation est d'une heure~; l'interrogation durera une demi-heure environ.

Au début de l'interrogation, vous disposerez de dix minutes au maximum pour présenter vos résultats, sans intervention du jury (vous pouvez utiliser moins de dix minutes si vous le souhaitez). 
Nous vous encourageons à ne pas recopier l'intégralité de vos calculs, mais plut\^ot à vous concentrer sur les points cruciaux de votre raisonnement. 
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Le jury reviendra ensuite sur les questions qu'il souhaitera approfondir, y compris éventuellement celles que vous n'auriez pas eu le temps d'aborder pendant la préparation. Il vous donnera  le cas échéant des indications.
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\begin{exo}Soit $m \geq 1$ un entier. On considère une suite de variables aléatoires $ (U_{i})_{i \geq 1}$ indépendantes et de loi uniforme sur l'ensemble $ \{1,2, \ldots,m\}$. On note
$$J=\min \{i \geq 1 : U_{i} \neq U_{i+1}\}.$$
\begin{enumerate}
\item[(1)]Trouver la loi de $J$.
 \end{enumerate}

On considère maintenant une suite $(J_{i})_{i \geq 1}$ de variables aléatoires indépendantes qui suivent la même loi que $J$. On note
$$M_{n}= \max(J_{1}, \ldots,J_{n}).$$

\begin{enumerate}
\item[(2)]Montrer que $\Pr{M_{n} \leq k}= \left( 1- \frac{1}{m^{k}} \right) ^{n}$ pour tout entier $k \geq 1$.
\item[(3)] Calculer la limite de $\Pr{M_{m^{k}}=k}$ lorsque $k \rightarrow \infty$.
\end{enumerate}
\end{exo}



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\begin{exo}
Soient $n,p \geq 1$ deux entiers. Pour toute matrice  $M=(m_{i,j})_{\underset{1\le j\le p}{1\le i\le n}}$  \`a $n$ lignes et $p$ colonnes, on note $M^{\mathsf{T}}$ la matrice \`a $p$ lignes et $n$ colonnes dont le coefficient plac\'e \`a la ligne $i$ et \`a la colonne $j$ vaut $m_{j,i}$.
\begin{enumerate}[label={(\arabic{*})}]
 \item Donner les dimensions de la matrice $M^{\mathsf{T}}M$.
 \item Montrer que $\dim(\text{Im}(M))=p$ si et seulement $\ker(M)=\{0\}$.
 \item Montrer que, pour tout vecteur colonne $X \in \R^{p}$, on a $X^{\mathsf{T}}  X=0$ si et seulement si $X=\mathbf{0}$ (o\`u $\mathbf{0}$ désigne le vecteur colonne nul de $\R^{p}$).
 \item Montrer que, pour tout vecteur colonne  $X \in \R^{p}$, on a  $X^{\mathsf{T}} M ^{\mathsf{T}} = (MX)^{\mathsf{T}}$.
  \item On suppose que $M^{\mathsf{T}} M$ est inversible. Montrer que $P=M(M^{\mathsf{T}}M)^{-1}M^{\mathsf{T}}$ v\'erifie $P^2=P$. 
 \item Montrer que $\dim(\text{Im}(M))=p$ si et seulement si $M^{\mathsf{T}}M$ est un isomorphisme. À quelle condition sur $n$ et $p$ une telle situation peut-elle se produire?
 \item On suppose que $\dim(\text{Im}(M))=p$. Montrer que $\R^n=\ker(M^{\mathsf{T}})\oplus \text{Im}(M)$.
 \end{enumerate}
\end{exo}


%% Planche 8
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\setcounter{exo}{0}
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Vous traiterez les exercices suivants et les présenterez {tous deux}, dans l'ordre de votre choix.
Le temps de préparation est d'une heure~; l'interrogation durera une demi-heure environ.

Au début de l'interrogation, vous disposerez de dix minutes au maximum pour présenter vos résultats, sans intervention du jury (vous pouvez utiliser moins de dix minutes si vous le souhaitez). 
Nous vous encourageons à ne pas recopier l'intégralité de vos calculs, mais plut\^ot à vous concentrer sur les points cruciaux de votre raisonnement. 
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Le jury reviendra ensuite sur les questions qu'il souhaitera approfondir, y compris éventuellement celles que vous n'auriez pas eu le temps d'aborder pendant la préparation. Il vous donnera  le cas échéant des indications.
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\begin{exo}
Le bijoutier du rez-de-chaussée a placé trois perles de la plus belle eau dans un petit écrin. Chaque soir, Arsène se glisse entre les barreaux du soupirail de l'arrière boutique, puis subtilise au hasard (indépendamment des autres soirs) une perle qu'il remplace par une fausse. Il réitère l'opération jusqu'à ce qu'il ait volé les trois perles précieuses.

On considère les évènements $A_{n}$ : \og il reste exactement deux vraies perles précieuses après le $n$-ième passage d'Arsène\fg, de probabilité  $p_{n}$, et $B_{n}$ : \og il reste exactement une vraie perle précieuse après le $n$-ième passage d'Arsène\fg, de probabilité $q_{n}$.

\begin{enumerate}
\item[(1)]Calculer $p_{1},q_{1},p_{2}, q_{2}$.
\item[(2)] Trouver la valeur de $p_{n}$.
\item[(3)] Trouver la valeur de $q_{n}$. 
\item[(4)] Calculer la probabilité qu'Arsène ait volé les trois perles précieuses au bout d'exactement $n$ passages.
\end{enumerate}
\end{exo}


\bigskip

\begin{exo}
Pour toute fonction $g:\R^{k}\to\R$ (avec $k \geq 1$), on appelle maximiseur de $g$, quand il en existe, tout point $x_0\in \R^{k}$ tel que $g(x_0)\ge \sup_{x\in \R^{k}}g(x)$ ; on dit aussi que $x_0$ maximise $g$. 

On considère la fonction
$$F(m,s)=\frac1{s}e^{-\frac{m^2+(m-2)^2}{2s}}.$$
\begin{enumerate}[label={(\arabic{*})}]
 \item Donner le domaine de d\'efinition $D$ de $F$.
 \item Montrer qu'un point $(m_0,s_0)$ maximise $F$ si et seulement si il maximise aussi $\ln(F)$.
 \item D\'eterminer les d\'eriv\'ees partielles $\frac{\partial \ln (F)}{\partial m}(m,s)$ et $\frac{\partial \ln(F)}{\partial s}(m,s)$.
 \item Montrer que, quelle que soit la valeur de $s \in \R^{*}_{+}$, $m_0=1$ est l'unique maximiseur de la fonction $m\mapsto F(m,s)$.
 \item Montrer que la fonction $s\mapsto F(m_0,s)$ admet un unique maximiseur $s_0$, et calculer $s_0$.
 \item Montrer que, pour tout $(m,s)\in D$, 
 $$(m,s)\ne (m_0,s_0) \quad  \Longrightarrow \quad F(m,s)< F(m_{0},s_{0}).$$
\end{enumerate}
\end{exo}






%% Planche 9
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\setcounter{exo}{0}
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Vous traiterez les exercices suivants et les présenterez {tous deux}, dans l'ordre de votre choix.
Le temps de préparation est d'une heure~; l'interrogation durera une demi-heure environ.

Au début de l'interrogation, vous disposerez de dix minutes au maximum pour présenter vos résultats, sans intervention du jury (vous pouvez utiliser moins de dix minutes si vous le souhaitez). 
Nous vous encourageons à ne pas recopier l'intégralité de vos calculs, mais plut\^ot à vous concentrer sur les points cruciaux de votre raisonnement. 
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Le jury reviendra ensuite sur les questions qu'il souhaitera approfondir, y compris éventuellement celles que vous n'auriez pas eu le temps d'aborder pendant la préparation. Il vous donnera  le cas échéant des indications.
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\begin{exo}~
\begin{enumerate}
\item[(1)] Montrer que
$$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}  \quad \mathop{\sim}_{n \rightarrow \infty} \quad \ln(n).$$
\item[(2)] Soit $\lambda<1$. Montrer que
$$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{\lambda}}  \quad \mathop{\sim}_{n \rightarrow \infty} \quad \frac{n^{1-\lambda}}{1-\lambda}.$$
\item[(3)] Trouver tous les nombres réels $\alpha,\beta \in \R$ tels que
$$\sum_{k=1}^{n} k^{\alpha}= \left(\sum_{k=1}^{n} k \right) ^{\beta} \qquad \textrm{pour tout entier } n \geq 1.$$
\end{enumerate}

\end{exo}

\bigskip

\begin{exo}Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers strictement positifs. Le but de cet exercice est de montrer que, si la quantité $ \frac{a^{2}+b^{2}}{ab+1}$ est un nombre entier, alors c'est un carré parfait, c'est-à-dire qu'il existe un nombre entier $p$ tel que $ \frac{a^{2}+b^{2}}{ab+1}=p^2$.
\begin{enumerate}
\item[(1)] Soient $c$ et $d$ des nombres réels et $P$ le polynôme $P(x)=x^{2}+cx+d$. On suppose qu'il existe un nombre réel $u$ tel que $P(u)=0$. Montrer qu'il existe $v \in \R$ tel que $P(x)=(x-u)(x-v)$, puis exprimer $c$ et $d$ en fonction de $u$ et de $v$. 
\end{enumerate}
\noindent On fixe  deux entiers strictement positifs $a$ et $b$ tels que $ \frac{a^{2}+b^{2}}{ab+1}$ soit un nombre entier.
\begin{enumerate}
\item[(2)] Donner un exemple de tels entiers.
\end{enumerate}
\noindent On pose $k= \frac{a^{2}+b^{2}}{ab+1}$, et on considère l'ensemble $ \mathcal{S}$  des couples $(u,v)$ d'entiers positifs qui ne sont pas tous les deux nuls et  tels que $k= \frac{u^{2}+v^{2}}{uv+1}$.
\begin{enumerate}
\item[(3)] Montrer que si $(a,0) \in \mathcal{S}$ alors $k$ est un carré parfait. 
\end{enumerate}

\noindent On raisonne par l'absurde et on suppose que $k$ n'est pas un carré parfait. Parmi tous les couples $(u,v)$  de $\mathcal{S}$, on en choisit un qui minimise la quantité $u+v$, et on le note $(U,V)$. On suppose que $U \geq V>0$.

\begin{enumerate}\item[(4)] On considère l'équation $ \mathcal{E}$: $\frac{x^{2}+V^2}{xV+1}=k$ d'inconnue $x$. Montrer que $x=U$ est solution de $ \mathcal{E}$. 
\item[(5)] Montrer que $ \mathcal{E}$ admet une autre solution réelle qu'on note $y$, et que
$$y=kV-U= \frac{V^{2}-k}{U}.$$
\item[(6)] Montrer que $y$ est un entier et que $y<V$. Aboutir à une contradiction et conclure.
\end{enumerate}
\end{exo}

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%% Planche 10
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\setcounter{exo}{0}
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Vous traiterez les exercices suivants et les présenterez {tous deux}, dans l'ordre de votre choix.
Le temps de préparation est d'une heure~; l'interrogation durera une demi-heure environ.

Au début de l'interrogation, vous disposerez de dix minutes au maximum pour présenter vos résultats, sans intervention du jury (vous pouvez utiliser moins de dix minutes si vous le souhaitez). 
Nous vous encourageons à ne pas recopier l'intégralité de vos calculs, mais plut\^ot à vous concentrer sur les points cruciaux de votre raisonnement. 
%
Le jury reviendra ensuite sur les questions qu'il souhaitera approfondir, y compris éventuellement celles que vous n'auriez pas eu le temps d'aborder pendant la préparation. Il vous donnera  le cas échéant des indications.
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\bigskip


\begin{exo}Pour un entier $n \geq 3$, on considère sur $\R_{+}^{*}$ l'équation
$$x=n \ln(x).$$
\begin{enumerate}
\item[(1)] On pose $f_{n}(x)=x-n \ln(x)$. Dresser le tableau de variations de $f_{n}$ et esquisser son graphe. 
\item[(2)] Montrer que l'équation $f_{n}(x)=0$ admet deux solutions sur $\R_{+}^{*}$.
\end{enumerate}
On note $u_{n}$ la plus petite solution de $f_{n}(x)=0$ sur $\R_{+}^{*}$.
\begin{enumerate}
\item[(3)] Montrer que $(u_{n})$ est décroissante. 
\item[(4)] Montrer que $u_{n}$ converge vers $1$.
\item[(5)] On pose $u_{n}=1+v_{n}$. Montrer que $v_{n} \sim \frac{1}{n}$ lorsque $n \rightarrow \infty$.
\end{enumerate}
\end{exo}


\bigskip


\begin{exo}Soient $m \geq 1$ un nombre entier. On pose $E= \{1,2, \ldots, m\}$. Si $A$ est un sous-ensemble de $E$, on note $\Card(A)$ le nombre d'éléments de $A$. Soit $X$ un sous-ensemble de $E$ choisi uniformément au hasard parmi tous les sous-ensembles de $E$.
\begin{enumerate}
\item[(1)] Combien y a-t-il de sous-ensembles de $E$ ?
\end{enumerate}

\noindent Si $A$ est un sous-ensemble de $E$, on note $V^{A}=(V^{A}_{1}, V^{A}_{2}, \ldots, V^A_{m})$ le vecteur défini par
$$ \qquad \textrm{pour tout } 1 \leq i \leq m, \qquad V^{A}_{i}= \begin{cases} 1 & \textrm{ si } i \in A\\
0 & \textrm{ si } i \not \in A.\end{cases}
$$

\begin{enumerate}
\item[(2)] Pour $1 \leq k \leq m$, calculer $\Pr{V_{k}^{X}=1}$.
\item[(3)] Démontrer que les variables aléatoires $(V^{X}_{k})_{1 \leq k \leq m}$ sont des variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli de paramètre $1/2$.
\item[(4)]  En remarquant que $\Card(X)= \sum_{k=1}^{m} V^{X}_{k}$, déterminer la loi de $\Card(X)$. Calculer l'espérance et la variance de $\Card(X)$.
\end{enumerate}
\noindent On considère une suite $(X_{i})_{i \geq 1}$ de variables aléatoires indépendantes et de même loi que $X$.
\begin{enumerate}
\item[(5)]  Déterminer la loi de $\Card(X_{1} \cap X_{2})$ et de $\Card(X_{1} \cup X_{2})$.
\end{enumerate}
\noindent On suppose à partir de maintenant que $m=2^{n}$ pour un entier $n \geq 1$ et on considère $Z_{n}=\Card(X_{1} \cap X_{2} \cap \cdots \cap X_{{n}})$. 
\begin{enumerate}
\item[(6)] Déterminer l'espérance et la variance de $Z_{n}$.
\item[(7)] Démontrer que pour tout $M>0$,
$$\Pr{ Z_{n} \geq M}  \leq \frac{2}{M^{2}}.$$
\emph{Pour une variable aléatoire positive $Y$ admettant une espérance, on pourra utiliser le fait que $\Pr{Y \geq t} \leq \frac{1}{t} \Ex{Y}$ pour tout $t>0$.}
\end{enumerate}
\end{exo}

%% Planche 11
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\setcounter{exo}{0}
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Vous traiterez les exercices suivants et les présenterez {tous deux}, dans l'ordre de votre choix.
Le temps de préparation est d'une heure~; l'interrogation durera une demi-heure environ.

Au début de l'interrogation, vous disposerez de dix minutes au maximum pour présenter vos résultats, sans intervention du jury (vous pouvez utiliser moins de dix minutes si vous le souhaitez). 
Nous vous encourageons à ne pas recopier l'intégralité de vos calculs, mais plut\^ot à vous concentrer sur les points cruciaux de votre raisonnement. 
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Le jury reviendra ensuite sur les questions qu'il souhaitera approfondir, y compris éventuellement celles que vous n'auriez pas eu le temps d'aborder pendant la préparation. Il vous donnera  le cas échéant des indications.
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\begin{exo}Soient $E,F,G$ trois $\R$-espaces vectoriels, $f :E \rightarrow F$ et $g : F \rightarrow G$ deux applications lin\'eaires. Montrer que:
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\ker(g \circ f)= \ker(f) \Longleftrightarrow \ker(g) \cap \im(f)= \{0\} $.
\item[(2)] $\im(g\circ f)= \im(g) \Longleftrightarrow \ker(g)+\im(f)=F$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\bigskip



\begin{exo}Dans cet exercice, on utilise indifféremment les notations $\exp(x)$ et $e^{x}$ pour la valeur de la fonction exponentielle au point $x$.
\begin{enumerate}
\item[(1)] Montrer que, pour tout $x \in \R$,
$$e^{x}= \sup_{ a \in \R}  \left( e^{a} x - a e^{a}+ e^{a} \right) .$$
\item[(2)]Soit $f: \R \rightarrow \R_{+}$ une fonction continue telle que $\int_{-\infty}^{\infty} f(u) \d u=1$. Montrer que, pour tout $\lambda>0$,
$$ \exp \left( \int_{-\infty}^{\infty} \lambda u f(u) \d u \right)   \leq  \int_{-\infty}^{\infty} e^{ \lambda u} f(u) \d u,$$
sous l'hypothèse que ces deux intégrales convergent.
\item[(3)] Soit $X$ une variable aléatoire réelle à densité qui possède une densité continue. On suppose que $e^{\lambda X}$ admet une espérance pour tout $\lambda \in \R$. 

\begin{enumerate}
\item[(a)] Démontrer que $X$ admet une espérance.
\item[(b)] Démontrer que $\Ex{ \lambda X}\le \ln\Ex{e^{\lambda X}}$ pour tout $\lambda >0$.
\end{enumerate}


\end{enumerate}
Dans la suite, on fixe un entier $n \geq 1$ et on considère des variables al\'eatoires ind\'ependantes  $X,X_1,\ldots,X_n$, de même loi gaussienne centrée réduite.
\begin{enumerate}
\item[(4)] V\'erifier que, pour tous $\lambda, x \in \R$, on a $\lambda x-\frac{x^2}2=\frac{\lambda^2}2-\frac{(x-\lambda)^2}2$.  En déduire que
$$\Ex{e^{\lambda X}}=e^{\frac{\lambda^2}2}.$$
 \item[(5)] Montrer que, pour tous $(x_1,\ldots,x_n) \in\R^n$ et $\lambda \in \R$, on a
 $$\exp \left( \lambda  \max_{1 \leq i \leq n}x_i \right)  \leq \sum_{i=1}^ne^{\lambda x_i}.$$ 
 \item[(6)] Démontrer que
 $$\Ex{\exp \left( \lambda \max_{ 1 \leq i \leq n}X_i \right)}  \leq n\Ex{e^{\lambda X}}.$$

\emph{On pourra utiliser sans démonstration le fait que, si $Y_{1}, \ldots,Y_{n}$ sont des variables aléatoires positives qui admettent une espérance, alors $Y_{1}+\cdots+Y_{n}$ admet une espérance et $\Ex{Y_{1}+\cdots+Y_{n}} = \Ex{Y_{1}}+ \cdots+\Ex{Y_{n}}$.}

 \item[(7)] Démontrer que 
$$\Ex{\max_{1 \leq i \leq n}X_i}\le \sqrt{2\ln n}.$$
 \end{enumerate}


\end{exo}

%% Planche 12
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\setcounter{exo}{0}
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Vous traiterez les exercices suivants et les présenterez {tous deux}, dans l'ordre de votre choix.
Le temps de préparation est d'une heure~; l'interrogation durera une demi-heure environ.

Au début de l'interrogation, vous disposerez de dix minutes au maximum pour présenter vos résultats, sans intervention du jury (vous pouvez utiliser moins de dix minutes si vous le souhaitez). 
Nous vous encourageons à ne pas recopier l'intégralité de vos calculs, mais plut\^ot à vous concentrer sur les points cruciaux de votre raisonnement. 
%
Le jury reviendra ensuite sur les questions qu'il souhaitera approfondir, y compris éventuellement celles que vous n'auriez pas eu le temps d'aborder pendant la préparation. Il vous donnera  le cas échéant des indications.
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\begin{exo}Soit $n \geq 1$ un entier et $\sigma>0$. Pour estimer un paramètre inconnu $p$, supposons qu'on sache construire, pour tout $1\leq k \leq n$, un intervalle de confiance $I_k$ pour  $p$ de niveau $1-e^{-k}$. Autrement dit, $I_k$ est un intervalle aléatoire tel que $$\Pr{p \not \in I_k}\le e^{-k}.$$ 
Supposons finalement que la longueur de $I_k$ soit \'egale \`a $\sigma\sqrt{k}$.


\begin{enumerate}[label={(\arabic{*})}]
\item Montrer que pour tout $1 \leq k \leq n$ on a  $\sum_{j=k}^{n} e^{-j} \leq  e^{1-k}$.
\item Montrer que, pour tout $1 \leq k \leq	n$, $$ \Pr{p\not \in \bigcap_{j=k}^{n}I_j}\leq e^{1-k}.$$
 \end{enumerate}
 On d\'efinit $\widehat{k}$ comme étant le plus petit entier $k \geq 1$ tel que 
$$\bigcap_{j=k}^{n}I_j\ne \emptyset,$$
et on note $\widehat{p}$ un élément de $\bigcap_{j=\widehat{k}}^{n}I_j$. 
\begin{enumerate}[label={(\arabic{*})}, resume]
 \item
 Si $p\in \bigcap_{j=k}^{n}I_j$, montrer que $\widehat{p}\in I_{k}$.
\item Montrer que pour tout nombre réel $0 \leq x < \sqrt{n}$ on a
 $$\Pr{|\widehat{p}-p|>
 \sigma x}\le e^{2-x^{2}}.$$
\end{enumerate}
\end{exo}



\begin{exo}Soit $r \geq 2$ un entier et  $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{r}$ des nombres réels deux à deux distincts. On considère le polynôme $P \in \R[X]$ défini par
$$P(X)=(X-\lambda_{1}) (X-\lambda_{2}) \cdots (X-\lambda_{r}).$$
Si $Q(X)=a_{0}+a_{1}X+\cdots+a_{n} X^{n}$, on note $Q'(X)=a_{1}+ 2a_{2}X+ \cdots +n a_{n} X^{n-1}$ son polynôme dérivé.

\medskip

On suppose qu'il existe un réel $c$ tel que $P(X)=c (X-\lambda_{1})P'(X)$.
\begin{enumerate}
\item[(1)] Démontrer que $c= \frac{1}{r}$.
\item[(2)] Démontrer que $P(X)= \frac{(X-\lambda_{1})^{2} P''(X)}{r(r-1)}$ et aboutir à une contradiction.
\end{enumerate}




\noindent Soit $A \in M_{n}(\R)$ une matrice diagonalisable. On suppose que les différentes valeurs propres de $A$ sont $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{r}$. Si $Q(X)=a_{0}+a_{1}X+\cdots+a_{n} X^{n}$, la matrice $Q(A)$ est définie par $Q(A)=a_{0} I_{n}+a_{1}A+ \cdots+a_{n} A^{n}$ (avec $I_{n}$ la matrice identité de $M_{n}(\R)$).
\begin{enumerate}
\item[(3)] Montrer que $P(A)=0$. 
\item[(4)] Montrer que $P'(A)$ est une matrice inversible.
\end{enumerate}
\end{exo}

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%% Planche 13
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\setcounter{exo}{0}
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Vous traiterez les exercices suivants et les présenterez {tous deux}, dans l'ordre de votre choix.
Le temps de préparation est d'une heure~; l'interrogation durera une demi-heure environ.

Au début de l'interrogation, vous disposerez de dix minutes au maximum pour présenter vos résultats, sans intervention du jury (vous pouvez utiliser moins de dix minutes si vous le souhaitez). 
Nous vous encourageons à ne pas recopier l'intégralité de vos calculs, mais plut\^ot à vous concentrer sur les points cruciaux de votre raisonnement. 
%
Le jury reviendra ensuite sur les questions qu'il souhaitera approfondir, y compris éventuellement celles que vous n'auriez pas eu le temps d'aborder pendant la préparation. Il vous donnera  le cas échéant des indications.
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\begin{exo}~
\begin{enumerate}
\item[(1)] Soit $x \in \mathbb{R}$. \'Etudier la convergence de la suite $(a_{n})_{n \geq 0}$ définie par récurrence par \[a_{0}=x\quad\text{ et, pour tout }n \geq 0 \quad a_{n+1}= \frac{a_{n}}{2}+1\enspace.\]
\item[(2)] Monter qu'il existe un nombre réel $0<r<1$ tel que $ \frac{2^{k}}{k} \leq r \cdot  \frac{2^{k+1}}{k+1}$ pour tout $k \geq 2$.
\item[(3)] Montrer qu'il existe une constante $C>0$ telle que $$\sum_{k=1}^{n} \frac{2^{k}}{k} \leq C \cdot \frac{2^{n}}{n}$$ pour tout $n \geq 1$.
\end{enumerate}


\noindent On considère maintenant la suite $(u_{n})_{n \geq 0}$ définie par $u_{0}=0$ et $u_{n+1}= \frac{u_{n}}{2}+ \frac{1}{n+1}$. On pose également $v_{n}= 2^{n} u_{n}$.

\begin{enumerate}
\item[(4)] Montrer que $v_{n}= \sum_{k=1}^{n} \frac{2^{k}}{k}$ et que la suite $(v_{n})_{n \geq 0}$ diverge.
\item[(5)] On écrit $$ \frac{2^{k+1}}{k}- \frac{2^{k}}{k-1}= \frac{2^{k}}{k}+w_{k}.$$
Que vaut $w_{k}$?
\item[(6)] En déduire un équivalent de $u_{n}$ lorsque $n \rightarrow \infty$. 
\end{enumerate}
\end{exo}


\bigskip



\begin{exo}
Soit $E$ un $\R$ espace vectoriel et $u$ un endomorphisme de $E$. Si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$, on dit que $F$ est stable par $u$ si $u(x) \in F$ pour tout $x \in F$. Pour tout entier $k \geq 1$, on note $u^{k}$ l'application $u \circ u \circ \cdots \circ u$ o\`u $u$ apparaît $k$ fois.

Soient $n \geq 1$ un entier et $p$ un projecteur. On suppose que $u^{n}$ est l'application identité et que $\im p$ est stable par $u$. On pose
$$q= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} u^{k} \circ p \circ u^{n-k}.$$
\begin{enumerate}
\item[(1)] Montrer que $\im q \subset \im p$ et que $p \circ q = q$.
\item[(2)] Montrer que $q \circ u= u \circ q$.
\item[(3)] Montrer que $q \circ p =p$.
\item[(4)] Montrer que $q$ est un projecteur.
\item[(5)] Montrer que $\ker q$ est un supplémentaire de $\im p$ stable par $u$.
\end{enumerate}

\end{exo}

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%% Planche 14
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\setcounter{exo}{0}
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Vous traiterez les exercices suivants et les présenterez {tous deux}, dans l'ordre de votre choix.
Le temps de préparation est d'une heure~; l'interrogation durera une demi-heure environ.

Au début de l'interrogation, vous disposerez de dix minutes au maximum pour présenter vos résultats, sans intervention du jury (vous pouvez utiliser moins de dix minutes si vous le souhaitez). 
Nous vous encourageons à ne pas recopier l'intégralité de vos calculs, mais plut\^ot à vous concentrer sur les points cruciaux de votre raisonnement. 
%
Le jury reviendra ensuite sur les questions qu'il souhaitera approfondir, y compris éventuellement celles que vous n'auriez pas eu le temps d'aborder pendant la préparation. Il vous donnera  le cas échéant des indications.
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\bigskip


\begin{exo}~
\begin{enumerate}
\item[(1)]  Soit $\alpha>0$. Montrer que pour tout $n \geq 1$ on a
$$ \frac{1}{(n+1)^{\alpha}} \leq \int_{n}^{n+1} \frac{\d x}{x^{\alpha}}.$$
\item[(2)] Montrer que  la série $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^{\alpha}}$ converge pour tout $\alpha>1$.
\item[(3)] Montrer que
$$ \lim_{\alpha \rightarrow \infty} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^{\alpha}} =0.$$
\end{enumerate}

\noindent On suppose  maintenant que $\alpha>1$ et que $(a_{n})_{n \geq 1}$ est une suite de nombre réels telle que $a_{n}>0$ pour tout $n \geq 1$ et telle que la série $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ converge.

\begin{enumerate}
\item[(4)] Montrer que les deux séries $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}^{n}$ et $\sum_{n=1}^{\infty} \left( a_{n}+ \frac{1}{(n+1)^{\alpha}} \right) ^{n}$ convergent.
\item[(5)] Démontrer que $|x^{n}-y^{n}| \leq n |x-y|$ pour tous $x,y \in [0,1]$ et pour tout entier $n \geq 1$.
\item[(6)] Montrer que
$$\lim_{\alpha \rightarrow \infty} \sum_{n=1}^{\infty} \left(  \left( a_{n}+ \frac{1}{(n+1)^{\alpha}} \right) ^{n}-a_{n}^{n} \right) =0.$$
\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo}
Soit $(S_{i})_{i \geq 0}$ une suite de nombres entiers telle que:
\begin{enumerate}
\item[--] $S_{0}=0$ et $S_{i} \geq 0$ pour tout $i \geq 0$,
\item[--] $|S_{i+1}-S_{i}|=1$ pour tout $i \geq 0$.
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item[(1)] Soit $k \geq 0$ un entier. Démontrer que $S_{k} \leq k$. Que dire si $S_{k}=k$?
\item[(2)] Soit $n \geq 0$ un entier. On définit la suite $(U^{(n)}_{k})_{k \geq 0}$ par
$$U^{(n)}_{0}=n, \qquad U^{(n)}_{k+1}=S_{U ^{(n)}_{k}} \textrm{ pour tout } k \geq 1.$$
Démontrer que la suite $U^{(n)}_{k}$ converge lorsque $k \rightarrow \infty$ vers une limite notée $U^{(n)}$.
\end{enumerate}

\noindent Soit $(X_{i})_{i \geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi donnée par $\Pr{X_{1}=1}=\Pr{X_{1}=-1}= \frac{1}{2}$. On suppose que $S_{0}=0$ et $S_{k}=|X_{1}+ \cdots+X_{k}|$ pour tout $k \geq 0$.
\begin{enumerate}
\item[(3)] Déterminer la loi de la variable aléatoire $\sup_{n \geq 0} U^{(n)}$.
\end{enumerate}
\end{exo}

%% Planche 15
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\setcounter{exo}{0}
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Vous traiterez les exercices suivants et les présenterez {tous deux}, dans l'ordre de votre choix.
Le temps de préparation est d'une heure~; l'interrogation durera une demi-heure environ.

Au début de l'interrogation, vous disposerez de dix minutes au maximum pour présenter vos résultats, sans intervention du jury (vous pouvez utiliser moins de dix minutes si vous le souhaitez).
Nous vous encourageons à ne pas recopier l'intégralité de vos calculs, mais plut\^ot à vous concentrer sur les points cruciaux de votre raisonnement. 
%
Le jury reviendra ensuite sur les questions qu'il souhaitera approfondir, y compris éventuellement celles que vous n'auriez pas eu le temps d'aborder pendant la préparation. Il vous donnera  le cas échéant des indications.
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\bigskip

\noindent



\begin{exo}
 Soient $f:[0,1]\to \R$ une fonction  et $a \in ]0,1[$. On suppose que $f$ est dérivable deux fois, que $f''$ est continue et que
 $$f(a)=0, \qquad f'(x) \neq 0 \textrm{ pour tout } x \in [0,1].$$

 
 \noindent On pose $$m_{1}= \inf_{x \in[0,1]} |f'(x)|, \qquad M_{2}= \sup_{x \in [0,1]} |f''(x)|.$$
 
 \begin{enumerate}[label={(\arabic{*})}]
 \item Montrer que $m_{1}>0$ et que $M_{2}<\infty$.
 \end{enumerate}
 
\noindent On fixe maintenant $x_0\in [0,1]$ et on d\'efinit r\'ecursivement
 $$\forall k\ge 0,\qquad x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_{k})}{f'(x_{k})},$$
 en supposant que $x_{k} \in [0,1]$ pour tout $k \geq 1$.
\begin{enumerate}[label={(\arabic{*})},resume]
 \item Montrer que, pour tout $x\in [0,1]$, 
 $$f(x)=f(a)+(x-a)f'(x)-\int_{a}^xf''(s)(s-a)\d s.$$
 \item Montrer que, pour tout $x \in [0,1]$,
 $$\absj{f(x)-(x-a)f'(x)}\le M_2\frac{(x-a)^2}2.$$
 \item Montrer que, pour tout $k\ge 0$,
 $$ |x_{k+1}-a|\le \frac{M_2}{2m_1}|x_k-a|^{2}.$$
 \item Que dire de la suite $(x_{n})_{n \geq 1}$ ?
\end{enumerate}
\end{exo}


\bigskip

\begin{exo}Pour avoir son diplôme, un étudiant doit réussir les examens des $M$ cours qui sont proposés, et obtenir ainsi les $M$ unités de valeur correspondantes. On suppose que l'étudiant a une probabilité $p \in ]0,1[$ de réussir chacun des examens (toutes les tentatives sont supposées indépendantes). D'année en année, l'étudiant peut reporter les unités de valeurs obtenues, et il ne passe alors que les examens qu'il n'a pas réussis.
\begin{enumerate}
\item[(1)] Pour $1 \leq i \leq M$, notons $G_{i}$ le nombre d'essais nécessaires pour réussir l'examen du $i$-ième cours. Quelle est la loi de $G_{i}$?
\item[(2)] On note $X_{n}$ le nombre total d'unités obtenues pendant les $n$ premières années (si $X_{n}=M$, alors $X_{m}=M$ pour $m \geq  n$). Quelle est la loi de $X_{n}$?
\item[(3)] On suppose que l'étudiant ne peut passer les examens qu'au plus pendant $5$ ans. 
\begin{enumerate}
\item[(a)]Quelle est la probabilité que l'étudiant n'obtienne pas son diplôme?
\item[(b)]Combien d'examens l'étudiant passera-t-il en moyenne?
\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{exo}


%% Planche 16
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\setcounter{exo}{0}
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Vous traiterez les exercices suivants et les présenterez {tous deux}, dans l'ordre de votre choix.
Le temps de préparation est d'une heure~; l'interrogation durera une demi-heure environ.

Au début de l'interrogation, vous disposerez de dix minutes au maximum pour présenter vos résultats, sans intervention du jury (vous pouvez utiliser moins de dix minutes si vous le souhaitez). 
Nous vous encourageons à ne pas recopier l'intégralité de vos calculs, mais plut\^ot à vous concentrer sur les points cruciaux de votre raisonnement. 
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Le jury reviendra ensuite sur les questions qu'il souhaitera approfondir, y compris éventuellement celles que vous n'auriez pas eu le temps d'aborder pendant la préparation. Il vous donnera  le cas échéant des indications.
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\begin{exo}~
\begin{enumerate}
\item[(1)] Montrer que $\cos(2x)=2\cos(x)^{2}-1$ pour tout $x \in \R$.
\end{enumerate}

\noindent Soit $a_{0} \in ]-1,1[$. On définit la suite $(a_{n})_{n \geq 1}$ par
$$a_{n+1}=  \sqrt{\frac{1+a_{n}}{2}} \qquad \textrm{pour tout } n \geq 0.$$
\begin{enumerate}
\item[(2)] Justifier qu'il existe un unique $\theta \in ]0,\pi[$ tel que $a_{0}= \cos(\theta)$.
\item[(3)] Montrer que $a_{n}= \cos(\theta/	2^{n})$.
\item[(4)] En déduire un équivalent de $1-a_{n}$ lorsque $n \rightarrow \infty$.
\end{enumerate}
\end{exo}

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\begin{exo}
Soit $\R[X]$ l'ensemble des polyn\^omes \`a coefficients réels. Soit   $P=\sum_{k=0}^da_kX^k \in \R[X]$ un polynôme. Pour tout entier $k \geq 0$, on note $P^{(k)}$ sa d\'eriv\'ee $k$-i\`eme (avec la convention que $P^{(0)}=P$). Ainsi, $P^{(1)}=\sum_{k=1}^{d} k a_{k} X^{k-1}$. On considère également $f_{P}$ l'application

$$ \begin{array}{lcll}
f_{P} :  & \R[X] &\longrightarrow &\R[X] \\
     & Q &\longmapsto & \displaystyle \sum_{k=0}^da_kQ^{(k)}
\end{array}$$

\begin{enumerate}[label={(\arabic{*})}]
\item Calculer $f_{1+X+2X^{2}}(1+X^{2})$.
 \item Montrer que, pour tout $P\in\R[X]$, $f_P$ est une application lin\'eaire de $\R[X]$.
 \end{enumerate}
 \noindent Pour tout entier $k\geq 0$, on définit le polynôme $P_{k}$ par $P_k(X)=X^k$.
 \begin{enumerate}[label={(\arabic{*})},resume]
 \item Trouver le noyau de $f_{P_2}$, l'image de $f_{P_{2}}$ et les valeurs propres de $f_{P_{2}}$.
 \item Montrer que $\ker(f_P)=\{0\}$ si et seulement si $P(0) \neq 0$.
 \item Donner une condition n\'ecessaire et suffisante sur $P$ pour que $\text{Im}(f_P)=\R[X]$.
 
 \emph{Indication.} On pourra commencer par le cas o\`u $P(0) \neq 0$.
 \item Trouver le noyau de l'application $P\mapsto f_P$.
 \item L'application $P\mapsto f_P$ est-elle un isomorphisme?
 \end{enumerate}
\end{exo}


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%% Planche 17
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\setcounter{exo}{0}
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Vous traiterez les exercices suivants et les présenterez {tous deux}, dans l'ordre de votre choix.
Le temps de préparation est d'une heure~; l'interrogation durera une demi-heure environ.

Au début de l'interrogation, vous disposerez de dix minutes au maximum pour présenter vos résultats, sans intervention du jury (vous pouvez utiliser moins de dix minutes si vous le souhaitez). 
Nous vous encourageons à ne pas recopier l'intégralité de vos calculs, mais plut\^ot à vous concentrer sur les points cruciaux de votre raisonnement. 
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Le jury reviendra ensuite sur les questions qu'il souhaitera approfondir, y compris éventuellement celles que vous n'auriez pas eu le temps d'aborder pendant la préparation. Il vous donnera  le cas échéant des indications.
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\begin{exo}Soient $a_{1}, \ldots, a_{n}$ des nombres réels tels que $a_{1}^{2}+ \cdots+a_{n}^{2}=1$. Soient $X_{1}, \ldots, X_{n}$ des variables aléatoires indépendantes et de même loi donnée par $\Pr{X=1}=\Pr{X=-1}= \frac{1}{2}$. On pose
$$Y=a_{1} X_{1}+ \cdots+a_{n} X_{n}.$$
 Le but de cet exercice est d'encadrer $\Ex{|Y|}$.
 
\begin{enumerate}
\item[(1)] Montrer que, pour tout réel $x \in \R$, $1+x \leq e^{x}$
\item[(2)] Calculer $\Ex{Y}$ et $\Ex{Y^{2}}$.
\end{enumerate}
On pose
$$Z= \prod_{k=1}^{n} (1+i a_{k} X_{k}),$$
qui est une variable aléatoire à valeurs dans $\C$.
\begin{enumerate}
\item[(3)] Montrer que le module $|Z|$ de $Z$ vérifie
$$|Z| \leq \sqrt{e}.$$
\item[(4)] Montrer que $\Ex{YZ}=i$.
\item[(5)] Montrer que $\Ex{|Y|} \geq  \frac{1}{\sqrt{e}}$. 

\emph{Indication. On pourra utiliser sans démonstration le fait que $|\Ex{YZ}| \leq \Ex{|YZ|}$.}
\item[(6)] Montrer que $\Ex{|Y|} \leq 1$.
\end{enumerate}
\end{exo}



\begin{exo}
Soit $n\ge 2$ un entier. Pour tout vecteur $X=(x_{1}, \ldots,x_{n})$ de $\R^n$, on note $$F_X= \left\{ (z_{1}, \ldots, z_{n}) \in\R^n,\ \sum_{i=1}^nx_iz_i=0  \right\}.$$
\begin{enumerate}[label={(\arabic{*})}]
 \item Montrer que, pour tout $X\in\R^n$, $F_X$ est un sous-espace vectoriel de $\R^n$. 
 \item Démontrer que $\R^{n}= F_{X} \oplus \mathrm{Vect}(X)$.  Quelle est la dimension de $F_{X}$?
 \item Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $\R^{n}$. Démontrer que $\dim(F+G)+\dim(F \cap G)=\dim F+\dim G$. 
 
 \emph{Indication:} on pourra considérer l'application
 $$ \begin{array}{llll}
u : & F \times G  &\longrightarrow  &\R^{n} \\
   & (x,y) & \longmapsto & x-y
\end{array}
$$
 \item Soit $H$ un sous-espace vectoriel de $\R^{n}$ de dimension $n-1$. Montrer que, pour tout sous-espace vectoriel $E$ de $\R^{n}$, on a $\dim(E \cap H)=\dim(E)$ ou $\dim(E \cap H)=\dim(E)-1$.
 \end{enumerate}
 Soient $X$ et $Y$ deux vecteurs de $\R^n$. 
\begin{enumerate}[label={(\arabic{*})},resume]
\item  On suppose que $X$ et $Y$ sont liés. Déterminer la dimension de $F_{X} \cap F_{Y}$.
 \item On suppose que $X$ et $Y$ sont libres. Déterminer la dimension de $F_{X} \cap F_{Y}$.
\end{enumerate}
\end{exo}


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%% Planche 18
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\setcounter{exo}{0}
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Vous traiterez les exercices suivants et les présenterez {tous deux}, dans l'ordre de votre choix.
Le temps de préparation est d'une heure~; l'interrogation durera une demi-heure environ.

Au début de l'interrogation, vous disposerez de dix minutes au maximum pour présenter vos résultats, sans intervention du jury (vous pouvez utiliser moins de dix minutes si vous le souhaitez). 
Nous vous encourageons à ne pas recopier l'intégralité de vos calculs, mais plut\^ot à vous concentrer sur les points cruciaux de votre raisonnement. 
%
Le jury reviendra ensuite sur les questions qu'il souhaitera approfondir, y compris éventuellement celles que vous n'auriez pas eu le temps d'aborder pendant la préparation. Il vous donnera  le cas échéant des indications.
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\begin{exo} Soit $E$ un $\R$ espace vectoriel de dimension finie et $u$ un endomorphisme de $E$.
\begin{enumerate}
\item[(1)] On suppose qu'il existe un projecteur $p$ tel que $u=p \circ u- u \circ p$.
\begin{enumerate}
\item[(a)] Montrer que pour tout $x \in \ker p$ on a $ u(x) \in \im p$.
\item[(b)] Montrer que  $\im p \subset \ker u$.
\item[(c)] Montrer que $u \circ u=0$.
\end{enumerate}
\item[(2)] On suppose que $u \circ u=0$. Montrer qu'il existe un projecteur $p$ tel que $u=p \circ u- u \circ p$.
\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo}~
  \begin{enumerate}
\item[(1)]  Donner le développement limité à l'ordre $2$ de $2 e^{- x} -1$ lorsque $x \rightarrow 0$.
\item[(2)] Lorsque $n \rightarrow \infty$, montrer que
$$ e^{-2 \sqrt{n}} \left(  \frac{1}{2 e^{- \frac{1}{\sqrt{n}}} -1} \right) ^{n}$$
converge vers un nombre réel strictement positif qu'on déterminera.
\end{enumerate}

\noindent On s'intéresse à un modèle simple de propagation d'une population, qu'on modélise comme suit. 
  \begin{enumerate}
\item[--] Chaque site de $\mathbb{N}= \{0,1,2,\ldots\} $ est occupé soit par un (seul) individu, soit est vide.
\item[--] À l'instant $t=0$, un individu occupe le site $0$ et tous les autres sites sont vides.
\item[--] Si un individu est à côté d'un site vide, au bout d'un temps aléatoire, indépendant de tout le reste, distribué selon une variable aléatoire géométrique de paramètre $ \frac{1}{2}$ (la probabilité que ce temps vaille $k$ est donc $ \frac{1}{2^{k}}$ pour $k \geq 1$), il donne naissance à un individu qui va occuper ce site vide.
\end{enumerate}
On note $T_{n}$ le premier temps o\`u un individu occupe le site $n$. Soit $a > \frac{1}{2}$. Le but de cet exercice est d'étudier le comportement asymptotique de $\Pr{T_{n} \geq 2 n+n^{a}}$  lorsque $n \rightarrow \infty$.


\begin{enumerate}
\item[(3)] Justifier qu'on peut écrire $T_{n}=G_{1}+ \cdots+G_{n}$, o\`u les variables aléatoires $G_{1}, \ldots, G_{n}$ sont des variables aléatoires indépendantes et géométriques de paramètre $ \frac{1}{2}$.
\item[(4)] 
\begin{enumerate}
\item[(a)]  Montrer que pour tout $x<\ln(2)$ la variable aléatoire ${e^{x G_{1}}}$ admet une espérance et la calculer.
\item[(b)] Montrer que pour tout $x<\ln(2)$ la variable aléatoire ${e^{x T_{n}}}$ admet une espérance et la calculer.
\end{enumerate}
\item[(5)] 
\begin{enumerate}
\item[(a)] Montrer que pour tout $0<x<\ln(2)$ et $y>0$ on a
$$\Pr{T_{n}>y} \leq  e^{- xy} \cdot \Ex{e^{x T_{n}}}.$$
\emph{Pour toute variable aléatoire positive $X$ qui admet une espérance, on pourra utiliser le fait que pour tout $t>0$, on a $\Pr{X \geq t} \leq  \frac{1}{t} \Ex{X}$.}
\item[(b)] Montrer que $$\Pr{T_{n} \geq 2n+n^{a}} \leq e^{-n^{a-1/2}}  e^{-2 \sqrt{n}} \left(  \frac{1}{2 e^{- \frac{1}{\sqrt{n}}} -1} \right) ^{n}.$$
\item[(c)] La série de terme général $\Pr{T_{n} \geq 2n+n^{a}}$ converge-t-elle ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}
\end{document}